第二十七课时：锐角三角函数。
、考点分析。
锐角三角函数是历年中考常出现的题型，有基本的容易题型，但一般与几何问题综合在一起进行考查。
、典型例题。
例1、(2023年·长沙) 某校九年级数学兴趣小组的同学开展了测量湘江宽度的活动．如图，他们在河东岸边的点测得河西岸边的标志物在它的正西方向，然后从点出发沿河岸向正北方向行进550米到点处，测得在点的南偏西60°方向上，他们测得的湘江宽度是多少米？（结果保留整数，参考数据：，）
例2、(2023年·长沙) 如图，p为⊙o外一点，pa
切⊙o于点a，且op=5，pa=4，则sin∠apo等于（ ）
a、 b、 c、 d、
例3、(2023年·长沙) 如图所示，某超市在一楼至二楼之间安装有电梯，天花板与地面平行，请你根据图中数据计算回答：小敏身高1.78米，她乘电梯会有碰头危险吗？
姚明身高2.29米，他乘电梯会有碰头危险吗？（可能用到的参考数值：
，，例4、(2023年·长沙) 如图，中，请你建立适当的直角坐标系，并写出各点的坐标．
例5、(2023年·长沙) 如图，灯塔在港口的北偏东方向上，且与港口的距离为80海里．一艘船上午9时从港口出发向正东方向航行，上午11时到达处，看到灯塔在它的正北方向．试求这艘航行的速度（精确到海里/小时）．
供选用数据：，
、课堂训练。
1、 在rt△abc中，∠c＝90°，a＝2，b＝3，则sinb＝ ，tanb＝ ．
2、在△abc中，∠c=90°，若cosa=，则tanb=__
3、计算2sin30°+2cos60°+3tan45
4、在直角三角形中，各边的长度都扩大3倍，则锐角a的三角函数值 （
a 也扩大3倍 b 缩小为原来的 c 都不变 d 有的扩大，有的缩小。
5、在abc中，∠c＝90°已知：c＝ 8，∠a＝60°，解直角三角形．
6、如图，直升飞机在跨河大桥ab的上方点p处，此时飞机离地面的高度po＝450 m，且a，b，o三点在一条直线上，测得∠＝30°，∠45°，求大桥ab的长(结果精确到0.01 m)．
7、、如图，一条小船从港口出发，沿北偏东方向航行海里后到达处，然后又沿北偏西方向航行海里后到达处．问此时小船距港口多少海里？（结果精确到1海里）。提示：以下数据选用：，，
8、经过江汉平原的沪蓉(上海—成都)高速铁路即将动工。工程需要测量汉江某一段的宽度。如图①，一测量员在江岸边的a处测得对岸岸边的一根标杆b在它的正北方向，测量员从a点开始沿岸边向正东方向前进100米到达点c处，测得。
（1）求所测之处江的宽度；
（2）除(1)的测量方案外，请你再设计一种测量江宽的方案，并在图②中画出图形。
第二十八课时：四边形(一)
、考点分析。
四边形是历年中考中重点考查的内容之一。平行四边形、矩形、梯形、菱形、正方形等是考查的对象，容易题型以填空选择的形式出现，较难题型是以证明题的题型出现。
、典型例题。
例1、(2023年·长沙) 如图，矩形的两条对角线相交于点，则矩形的对角线的长是（ ）
a．2 b．4 cd．
例2、(2023年·长沙) 如图，p为菱形abcd的对角线上。
一点，pe⊥ab于点e，pf⊥ad于点f，pf=3cm，则p
点到ab的距离是cm.
例3、(2023年·长沙) 如图，已知等腰梯形中，，则此等腰。
梯形的周长为（ ）
例4、(2023年·长沙) 如图中，阴影部分表示的四边形是＿＿＿
、课堂训练。
1、如图，在□abcd中，已知ad＝8㎝， ab＝6㎝， de平分∠adc
交bc边于点e，则be等于（ ）
a.2cm b.4cm c.6cm d.8cm
2、如图，四边形中，，，则该四边形的面积是。
3、如图1，在菱形abcd中，ab = 5，∠bcd =120°，则对。
角线ac等于（ ）
a．20b．15
c．10d．5
4、如图，菱形abcd的边长为10cm，de⊥ab，则这个菱形的面积。
cm2．5、梯形中，，，则的长为（）
a．2 b．3 c．4 d．5
6、如图1，在等腰梯形abcd中，ad∥bc，对角线ac、bd相交于点。
o，以下四个结论：① oa=od ，③
s=s，其中正确的是( )
a. ①b.①④c.②③d.①②
第二十九课时：四边形(二)
、考点分析。
四边形证明题，是历年中考中必考的题型。
、典型例题。
例1、(2023年·长沙) 如图，是平行四边形对角线上两点，，求证：．
例2、(2023年·长沙) 如图，在□abcd中，bc=2ab=4，点e、f分别是bc、ad的中点。
1）求证：△abe≌△cdf；
2）当四边形aecf为菱形时，求出该菱形的面积。
、课堂训练。
1、如图 5，abcd是菱形，对角线ac与bd相交于o，．
1）求证：△abd是正三角形；
2）求 ac的长（结果可保留根号）．
2、如图 ，abcd是正方形．g是 bc 上的一点，de⊥ag
于 e，bf⊥ag于 f．
1）求证：；
2）求证：．
3、如图，是四边形的对角线上两点，求证：（1）．
2）四边形是平行四边形．
4、如图，在梯形abcd中，ad∥bc,ab＝ad＝dc,∠b＝60.
1)求证：ab⊥ac；
2)若dc＝6,求梯形abcd的面积 .
第三十课时：推理归纳猜想。
、考点分析。
推理归纳猜想题型在近几年中考中经常出现，该题型属于中等难度题型。
、典型例题。
例1、(2023年·长沙) 在密码学中，直接可以看到内容为明码，对明码进行某种处理后得到的内容为密码．有一种密码，将英文26个字母，…，不论大小写）依次对应1，2，3，…，26这26个自然数（见**）．当明码对应的序号为奇数时，密码对应的序号；当明码对应的序号为偶数时，密码对应的序号．
按上述规定，将明码“love”译成密码是（ ）
a．gawq b．shxc c．sdri d．love
例2、(2023年·长沙) 探索规律：
31＝3，个位数字是3； 32＝9，个位数字是9； 33＝27，个位数字是7；
34＝81，个位数字是1； 35＝243，个位数字是3； 36＝729，个位数字是9；…
那么，37的个位数字是___320的个位数字是___
例3、(2023年·长沙) 下表为杨辉三角系数表，它的作用是指导读者按规律写出形如（a+b）n（n为正整数）展开式的系数，请你仔细观察下表中的规律，填出（a+b）4展开式中所缺的系数。
a+b)=a+b (a+b)2=a2+2ab+b2 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
则（a+b）4=a4+__a3b+6a2b2+4ab3+b4
、课堂训练。
1、观察下列图形，则第个图形中三角形的个数是（ ）
a． b． c． d．
2、有一列数…，那么第7个数是 ．
3、如图所示的运算程序中，若开始输入的值为48，我们发现第1次输出的结果为24，第2次输出的结果为12，……第2009次输出的结果为。
4、定义新运算“”，规则：，如，。若的两根为，则。
5、计算机处理数据用的只有数码0和1的二进制数，二进制可转化十进制，若二进制数1011换算成十进制数应为：按此方式，将十进制数6换算成二进制数应为
第三十一课时：综合题(一)
、考点分析。
历年中考压轴题，往往是函数、圆、动点、三角函数等之间的综合题型，属于较难题。
、典型例题。
例1、(2023年·长沙)在中，，是边上一点，以为直径的与边相切于点，连结并延长，与的延长线交于点．
1）求证：；
2）若，求的面积．
例2、(2023年·长沙) 为了扶持大学生自主创业，市**提供了80万元无息贷款，用于某大学生开办公司生产并销售自主研发的一种电子产品，并约定用该公司经营的利润逐步偿还无息贷款．已知该产品的生产成本为每件40元，员工每人每月的工资为2500元，公司每月需支付其它费用15万元．该产品每月销售量（万件）与销售单价（元）之间的函数关系如图所示．
1）求月销售量（万件）与销售单价（元）之间的函数关系式；
2）当销售单价定为50元时，为保证公司月利润达到5万元（利润＝销售额－生产成本－员工工资－其它费用），该公司可安排员工多少人？
3）若该公司有80名员工，则该公司最早可在几个月后还清无息贷款？
例3、(2023年·长沙) 如图，中，，为直角边上一点，以为圆心，为半径的圆恰好与斜边相切于点，与交于另一点．
1）求证：；
2）若，，求的半径及图中阴影部分的面积．
例4、(2023年·长沙) ）如图，四点在上，的延长线相交于点，直径为8，，．
1）求证：；
2）计算的值，并指出的取值范围．
、课堂训练。
1、如图，在平行四边形abcd中，过点b作be⊥cd，垂足为e，连结ae．f为ae上一点，且∠bfe＝∠c．
（1）求证：△abf∽△ead；
（2）若ab＝4，∠bae＝30°，求ae的长；
（3）在（1）、（2）的条件下，若ad＝3，求bf的长．（计算结果可含根号）
2、如图，梯形abcd中，ad∥bc，ad＝3㎝，bc＝7㎝，∠b＝60°ab＝为下底bc上一点(不与b、c重合)，连结ap，过p点作pe交dc于e，使得∠ape＝∠b
求证：△abp∽△pce
求等腰梯形的腰ab的长。
在底边bc是否存在一点p，使得de∶eo＝5∶3？如果存在，求bp的长；如果不存在，请说明理由。
3、某通讯器材公司销售一种市场需求较大的新型通讯产品．
已知每件产品的进价为40元，每年销售该种产品的总开支。
不含进价）总计120万元．在销售过程中发现，年销售量。
万件）与销售单位（元）之间存在着如图所示的一次函数关系．
1）求关于的函数关系式；
2）试写出该公司销售该种产品的年获利（万元）关于销售单价（元）的函数关系式（年获利＝年销售额－年销售产品总进价－年总开支）．当销售单价为何值时，年获利最大？并求这个最大值；
3）若公司希望该种产品一年的销售获利不低于40万元，借助（2）中函数的图象，请你帮助该公司确定销售单价的范围．在此情况下，要使产品销售量最大，你认为销售单价应定为多少元？
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