湖南省长郡中学2011届高三年级分班考试。
数学试题（理科）
时量：120分钟总分：100分。
一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案填在答题卡中对应位置。
1．的二项展开式中的第七项为。
a．—210 b．210 c．—120i d．120i
2．一个空间几何体的三视图及其尺寸如下图所示，则该空间几何体的体积是。
a． b． c．7 d．14
3．函数的零点所在的区间是。
a． b． c． d．
4．已知离心率为e的双曲线，其右焦点与抛物线的焦点重合，则e的值为。
a． b． c． d．
5．如图，设d是图中所示的矩形区域，e是d内函数。
图象上方的点构成的区域，向d中随。
机投一点，则该点落入e（阴影部分）中的概率。
为。a． b．
c． d．6．执行下面的程序框图，输出的s 值为。
a． b． c． d．
7．为了迎接第十届全国中****会在长沙举行，某中学从6名品学兼优的同学中选出4名去进行为期三天的宣传活动，每人一天，要求星期天有2人参加，星期。
五、星期六各有1人参加，则不同的选派方案的种数为。
a．90 b．180 c．240 d．360
8．已知集合、、的外接圆圆心为d，且，则满足条件的函数有。
a．6个 b．10个 c．12个 d．16个。
二、填空题：本大题共7小题，每小题3分，共21分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上。
9．由抛物线和直线x=2所围成图形的面积为。
10．集合，则实数t的取值范围是。
11．已知二次函数的最小值为。
12．给出下列四个命题：
过平面外一点，作与该平面成角的直线一定有无穷多条；
一条直线与两个相交平面都平行，则它必与这两个平面的交线平行；
对确定的两条异面直线，过空间任意一点有且只有唯一的一个平面与这两条异面直线都平行；
对两条异面的直线，都存在无穷多个平面分别与这两条直线所成的角相等；
其中正确的命题序号为 （请把所有正确命题的序号都填上）.
三、解答题：本大题共6小题，共55分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16．（本小题满分8分）
三角形的三内角a，b，c所对边的长分别为。
求：（1）角b的大小；
（2）的取值范围。
17．（本小题满分8分）
某单位举办2023年上海世博会知识宣传活动，进行现场**。盒中装有10张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“世博会会徽”或“海宝”（世博会吉祥物）图案；**规则是：参加者从盒中抽取卡片两张，若抽到两张都是“海宝”卡即可获奖，否则，均为不获奖。
卡片用后放回盒子，下一位参加者继续重复进行。
（1）活动开始后，一位参加者问：盒中有几张“海宝”卡？ 主持人答：我只知道，从盒中抽取两张都是“世博会会徽”卡的概率是，求**者获奖的概率；
（2）现有甲、乙、丙、丁四人依次**，用表示获奖的人数，求的分布列及期望。
18．（本小题满分9分）
已知几何体a—bced 的三视图如图所示，其中侧视图和俯视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形。求：
（1）异面直线de 与ab 所成角的余弦值；
（2）二面角a—ed—b 的正弦值；
（3）此几何体的体积v 的大小。
19．（本小题满分10分）
学习曲线是2023年美国廉乃尔大学t. p. wright博士在飞机制造过程中，通过对大量有关资料、案例的观察、分析、研究，首次发现并提出来的。
已知某类学习任务的学习曲线为：为掌握该任务的程度，t为学习时间），且这类学习任务中的某项任务满足。
（1）求的表达式，计算的含义；
（2）已知为该类学习任务在t时刻的学习效率指数，研究表明，当学习时间时，学习效率最佳，当学习效率最佳时，求学习效率指数相应的取值范围。
20．（本小题满分10分）
已知直线l与函数的图象相切于点（1，0），且l与函数的图象也相切。
（1）求直线l的方程及m的值；
（2）若，求函数的最大值；
（3）当。21．（本小题满分10分）
已知椭圆，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切。
（1）求椭圆c的方程；
（2）设轴对称的任意两个不同的点，连结pb交椭圆c于另一点e，证明：直线ae与x轴相交于定点q；
（3）在（2）的条件下，过点q的直线与椭圆c交于m、n两点，求的取值范围。
参***。一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分。
1—8 abccdabc
二、填空题：本大题共7小题，每小题3分，共21分。
三、解答题：本大题共6小题，共55分。
16．解：（1），由余弦定理得 ……4分。
（2），…8分。
17．解：（1）设“世博会会徽”卡有n张，由 ……1分。
故“海宝”卡有6张，**者获奖的概率为 ……3分。
（2）可能取的值为0，1，2， 3，4，则 ……4分。
所以的分布列为。
………8分。
18．解：方法一（1）取ec的中点是f，连结bf，则bf//de，∴∠fba或其补角即为异面直线de与ab所成的角．
在△baf中，ab=，bf=af=．∴
异面直线de与ab所成的角的余弦值为．……3分。
（2）ac⊥平面bce，过c作cg⊥de交de于g，连ag．
可得de⊥平面acg，从而ag⊥de
∠agc为二面角a-ed-b的平面角．
在△acg中，∠acg=90°，ac=4，cg=
二面角a—ed—b的正弦值为．……6分。
几何体的体积v为16．……9分。
方法二：（坐标法）（1）以c为原点，以ca，cb，ce所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
则a（4，0，0），b（0，4，0），d（0，4， 2），e（0，0，4）
异面直线de与ab所成的角的余弦值为．……3分。
（2）平面bde的一个法向量为，设平面ade的一个法向量为，从而，令，则，
二面角a-ed-b的的正弦值为．……6分。
（3），∴几何体的体积v为16．……9分。
19．解：（1），表示某项学习任务在开始学习时已掌握的程度为37.5% …4分。
（2）令学习效率指数，……6分。
上为减函数。 …8分。
故所求学习效率指数的取值范围是 ……10分。
20．解：（1）的图象在点（1，0）处的切线。
………1分。
又因为直线的图象相切，（2）由（1）知。
………4分。
当。于是，上单调递减。 …5分。
所以，当 ……6分。
（3）由（2）知：当；……8分。
当。………10分。
21．解：（1）由题意知。
故椭圆c的方程为 ……2分。
（2）由题意知直线pb的斜率存在，设直线pb的方程为。
由 ……将代入整理得，得 ……
由①得代入②整得，得。
所以直线ae与x轴相交于定点q（1，0） …6分。
（3）当过点q的直线mn的斜率存在时，设直线mn的方程为在椭圆c上。
所以 ……10分。
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