2024年长春市高中毕业班第一次调研测试。
数学（理科）试题参***及评分标准。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．a 2．d 3．b 4． a 5．a 6．b
7．c 8．a 9．b 10．c 11．b 12．d
简答与提示：
1. =故选a.
另解）,故选a.
2. 由已知≤, 则，故选d.
3. 对于正确；
对于；与也可能相交或者异面；
对于，又因为则正确；
对于则可能在平面内，也可能不在平面内，所以不能得出；综上所述正确，故选b.
4. ,故选a.
5. 由三视图知该几何体为圆柱，其底面半径为r＝,高h＝1,∴.故选a.
6. 由已知。
4＋4×2××cos60°＋4＝12, ,故选b.
7. 开始时液面下降速度较慢，逐渐变快，越来越快．故选c.
8. 由已知，则。
即，得。故选a.
9. 由已知得线性可行域如图所示，则的最小值为2,若，则为最小值最优解， ,若≤,则为最小值最优解，不合题意，故选b.
10. 由已知，则；向左移个单位得为奇函数．有z,则即．代入选项检验，c正确。故选c.
11. 由已知圆的方程为，抛物线的焦点为，直线过点，则如图所示，因为，有，设，则，则有。
故，故选b.
12. 因为函数在上为增函数，所以≥0,故a正确；由于，将视为曲线上的点与原点连线斜率，结合函数图象可知横坐标越大，斜率越小， ,满足条件，故b正确；当时，为减函数， ,
故c正确；由于曲线图象上连结任意两点线段中点在曲线下。
方， ,d错误．故选d．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
简答与提示：
13. 当时，s==9； 当时，s==81；
当时，s==729 ； 当时输s=729.
15. =令，则有。
故常数项为。
16. 如图，△abe中，m、n为ae、be的三等分点，mn∥ab,ab＝3mn,∴ag＝3gm．（用正四面体验证也可）
三、解答题（本大题必做题5小题，三选一选1小题，共70分）
17. (本小题满分12分)
解：(1)∵数列是等差数列，s6＝3(a1＋a6)＝3(a2＋a5)＝36.
a2＝3,∴a5＝9,∴3d＝a5－a2＝6,∴d＝2,又∵a1＝a2－d＝1,∴an＝2n－14分）
2)由等比数列满足，得＝＝8,∴q＝2,8分）
+＝,12分）
18. (本小题满分12分)
解：依题意得，
在中，由正弦定理得，6分）
在中，由正弦定理得，9分）
在中，由余弦定理得，答：这两座建筑物之间的距离为5km12分）
19. (本小题满分12分)
解：[方法一]
1）如图建立空间直角坐标系，则a（0,0,0）,c（1,1,0）,p（0,0,1）,b（0,2,0）,m（0,1,）,4分）
2）设平面amc的一个法向量为。
令，则。 ,是平面的一个法向量，二面角p—ac—m的余弦值为8分）
3）存在，n为pc中点．设。则。
依题意，即n为pc中点12分）
方法二]（1）如图，过作∥,且。
连结ce、ae,则即为ac与pb所成。
的角，由已知可得，4分）
2）取中点连mn,则mn∥bc,mn平面pac.
取ac中点h,连nh,mh,则nh⊥ac,mh⊥ac,即为二面角p-ac-m的平面角．由。8分）
3）存在，pc中点n即为所求．
连db交ac于点f,取pm中点g,连dg、fm,则dg∥fm,又平面，平面，平面，连dn,则gn∥mc,同理可证∥平面，又，平面dgn∥平面amc,dn∥平面amc12分）
20. (本小题满分12分)
解：（1）短轴长1分）
又，所以，所以椭圆的方程为． （4分）
2）设直线的方程为，由，消去得，6分），即．（8分）
即10分）解得，经检验，符合题意，方程为， ,12分）
21. (本小题满分12分)
解：（1）当时， ,切线方程为4分)
2）[方法一]
15分)设，则7分)
设，则9分)
在上为增函数，≥,在上为增函数，12分)
方法二],设6分)
≥0,≥0,在上为增函数，8分)
又≥0恒成立，0,≤,在上为增函数11分)
此时≥≥0恒成立，12分)
22. (本小题满分10分) 选修4-1：几何证明选讲。
证明：(1) 四边形是等腰梯形，∴.5分）
8分）,∴10分)
23. (本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程。
解：(1)圆的极坐标方程为4分)
2)设点的极坐标为，点的极坐标为，点为线段的中点7分)
将，代入圆的极坐标方程，得。
点轨迹的极坐标方程为，它表示圆心在点，半径为的圆10分)
24. (本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲。
解：原不等式等价于或4分)
或7分)或或。
原不等式的解集为{或或10分)
一模理数答案
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2019长春一模 理数 答案
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