朝阳区2013-2014学年第一次综合练习（理工类）2014.3
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．
1）复数在复平面内对应的点位于（ ）
a．第一象限 b．第二象限c．第三象限 d．第四象限。
2）已知集合，集合，则（ ）
a． b． c． d．
3）已知平面向量，满足，，则与的夹角为（ ）
abcd．4）如图，设区域，向区域内随机投一点，且投入到区域内任一点。
都是等可能的，则点落入到阴影区域的概率为（ ）
ab．cd．
5）中，，，则“”是“”的（ ）
a．充分不必要 b．必要不充分。
c．充要条件 d．既不充分也不必要。
6）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（ ）
a． b． c． d．
7）已知函数．下列命题：正确命题的序号是（ ）
函数的图象关于原点对称； ②函数是周期函数；
当时，函数取最大值；
函数的图象与函数的图象没有公共点，ab．②③c． ①d．②④
8）直线与圆交于不同的两点，且，其中是坐标原点，则实数的取值范围是（ ）
a． b．
cd．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
9）在各项均为正数的等比数列中，，，则该数列的前4项和为 ．
10）在极坐标系中，为曲线上的点，为曲线上的点，则线段长度的最小。
值是。11）某三棱锥的三视图如图所示，则这个三棱锥的。
体积为表面积为。
12）双曲线的一个焦点到其渐近线的距离是，则 ；此双曲线的离心率为。
13）有标号分别为1，2，3的红色卡片3张，标号分别为1，2，3
的蓝色卡片3张，现将全部的6张卡片放在2行3列的格内（如。
图）．若颜色相同的卡片在同一行，则不同的放法种数为 ．
14）如图，在四棱锥中，底面．底面为梯形，∥，若点是线段上的。
动点，则满足的点的个数是 ．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．
15）（13分）已知函数，．
ⅰ）求的值及函数的最小正周期；
ⅱ）求函数在上的单调减区间．
16）（13分）某单位从一所学校招收某类特殊人才．对位已经选拔入围的学生进行运动协调能力和逻辑思维能力的测试，其测试结果如下表：
例如，表中运动协调能力良好且逻辑思维能力一般的学生有人．由于部分数据丢失，只知道从这。
位参加测试的学生中随机抽取一位，抽到运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生的概率为．
i）求a，b的值；
ii）从参加测试的位学生中任意抽取位，求其中至少有一位运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生的概率；
iii）从参加测试的位学生中任意抽取位，设运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生人数为，求随机变量的分布列及其数学期望．
17）（14分）如图，四棱锥的底面为正方形，侧面底面．为等腰直角三角形，且．，分别为底边和侧棱的中点．
ⅰ）求证：∥平面；
ⅱ）求证：平面；
ⅲ）求二面角的余弦值．
18）（13分）已知函数，．
ⅰ）求函数的单调区间；
ⅱ）若函数在区间的最小值为，求的值．
19）（14分）已知椭圆经过点，离心率为．
ⅰ）求椭圆的方程；
ⅱ）直线与椭圆交于两点，点是椭圆的右顶点．直线与直线。
分别与轴交于点，试问以线段为直径的圆是否过轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．
朝阳区2013-2014学年第一次综合练习（理工类）2014.3.
7、③，的最大值一定是的极值；，所以当时，函数不取极值，③错；，故函数的图象与函数的图象没有公共点，④正确．
8、设圆心到直线的距离，所以，14、建系。
又，则，．选d．
15． ．正周期为．（ⅱ单调减区间为．
16．解：（i）：抽到运动协调能力或逻辑思维能力优秀的人．则．．．
ii）． iii）的可能取值为，，．位学生中运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生人数为人．
所以，，．17．（ⅰ四边形是平行四边形．∥平面．（ⅱ平面． 9分（ⅲ）余弦值为．
18．解：函数的定义域是， ．当时，减区间是，当时，减区间是，增区间为．……7分。
ⅱ）（1）当时，由（ⅰ）可知，在上单调递减，，，舍。
2）当时，由（ⅰ）可知，①当，()在上增，，解得．，(解得，舍去．
当，()得，舍去．综上所述，．…13分。
19．解：（ⅰ所以椭圆的方程是．
若以线段为直径的圆过轴上的定点，则等价于恒成立．
又因为，所以恒成立．
韦达定理代入)．．过定点．
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