丰台区2023年统一练习（一）
数学（理科）参***。
一、选择题（每小题5分，共40分）
二、填空题（每小题5分，共30分）
三、解答题（本大题共6小题，共80分）
15、（12分）已知函数f(x)=asinx+bcosx的图象经过点。
ⅰ）求实数a,b的值；
ⅱ）若x[0,]，求函数f(x)的最大值及此时x的值。
解：（ⅰ函数f(x)=asinx+bcosx的图像经过点。
4分。解得：a=,b=-15分。
ⅱ）由（ⅰ）知：f(x)= sinx-cosx=2sin(x8分。
∵x[0,]，x9分。
当x-=,即x=时，f(x)取得最大值。……12分。
16、（14分）如图，在底面是正方形的四棱锥p-abcd中，面abcd，bd交ac于点e，f是pc中点，g为ac上一点。
ⅰ）求证：bdfg；
ⅱ）确定点g**段ac上的位置，使fg//平面pbd，并说明理由；
ⅲ)当二面角b-pc-d的大小为时，求pc与底面abcd所成角的正切值。
证明（ⅰ）面abcd，四边形abcd是正方形，其对角线bd,ac交于点e，bd,acbd,
bd平面pac,
fg平面pac,bdfg5分。
解（ⅱ）当g为ec中点，即ag=ac时，fg//平面pbd7分。
理由如下：连接pe，由f为pc中点，g为ec中点，知fg//pe，而fg平面pbd, pe平面pbd,故fg//平面pbd9分。
解(ⅲ)作bhpc于h,连结dh,面abcd，四边形abcd是正方形，pb=pd,又∵bc=dc,pc=pc,
△pcb≌△pcd,
dhpc,且dh=bh,bhd就是二面角b-pc-d的平面角11分。
即bhd=，
面abcd, ∴pca就是pc与底面abcd所成的角………12分。
连结eh,则ehbd,bhe=,ehpc,
tanbhe=,而be=ec, ,sinpca=,∴tanpca=,pc与底面abcd所成角的正切值是14分。
或用向量方法：
解：以a为原点，ab,ad,ap所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系如图所示，设正方形abcd的边长为1，则a(0,0,0),b(1,0,0),c(1,1,0)，d(0,1,0),p(0,0,a)(a>0),e(),f(),g(m,m,0)(02分。
ⅰ）=1，1，0），=m++m-+0=0,bdfg5分。
ⅱ）要使fg//平面pbd，只需fg//ep,而=()由=可得，解得=1，m7分。
g（，，0），∴故当ag=ac时，fg//平面pbd9分。
设平面pbc的一个法向量为=（x,y,z），则，而，，∴取z=1,得=（a,0,1）,同理可得平面pdc的一个法向量为=（0，a,1）,设，所成的角为，则|cos|=|cos|=,即=，∴a=112分。
面abcd, ∴pca就是pc与底面abcd所成的角，
tanpca14分。
17、（14分）某工厂师徒二人各加工相同型号的零件2个，是否加工出精品均互不影响。已知**加工一个零件是精品的概率为，师徒二人各加工2个零件都是精品的概率为。
ⅰ）求徒弟加工2个零件都是精品的概率；
ⅱ）求徒弟加工该零件的精品数多于**的概率；
ⅲ）设师徒二人加工出的4个零件中精品个数为，求的分布列与均值。
解：（ⅰ设徒弟加工1个零件是精品的概率为p1
由得， 所以徒弟加工2个零件都是精品的概率是………3分。
ⅱ）设徒弟加工零件的精品数多于**的概率为p2
由（ⅰ）知，
**加工两个零件中，精品个数的分布列如下：
徒弟加工两个零件中，精品个数的分布列如下：
所以p29分。
ⅲ）的分布列为。
13分。的期望为0+1+2+3+4=……14分。
18、（13分）已知函数。
ⅰ）当时，求函数f(x)的单调区间；
ⅱ）若函数f(x)在[1,e]上的最小值是，求的值。
解：函数的定义域为（01分。
3分。ⅰ）∵故函数在其定义域（0，+∞上是单调递增的。 …5分。
ⅱ）在[1,e]上，分如下情况讨论：
1 当a<1时，，函数单调递增，其最小值为<1 ，这与函数在[1,e]上的最小值是相矛盾6分。
2 当a=1时，函数在单调递增，其最小值为，同样与最小值是相矛盾7分。
3 当14 当a=e时，函数在上有，单调递减，其最小值为，还与最小值是相矛盾10分。
5 当a>e时，显然函数在[1,e]上单调递减，其最小值为》2 ，仍与最小值是相矛盾12分。
综上所述，的值为13分。
19、（13分）在直角坐标系中，点到f1、f2的距离之和是4，点的轨迹与轴的负半轴交于点，不过点的直线：与轨迹交于不同的两点和．
ⅰ）求轨迹的方程；
ⅱ）当时，求与的关系，并证明直线过定点．
解：（1）∵点到，的距离之和是4，m的轨迹是长轴长为4，焦点在x轴上焦距为的椭圆，其方程为3分。
2）将，代入曲线的方程，整理得5分。
因为直线与曲线交于不同的两点和，
所以。设，则。7分。且。
显然，曲线与轴的负半轴交于点，所以，由，得．
将②、③代入上式，整理得10分。
所以，即或．经检验，都符合条件①．
当时，直线的方程为．
显然，此时直线经过定点点．即直线经过点，与题意不符．
当时，直线的方程为．显然，此时直线经过定点点，且不过点．
综上，与的关系是：，且直线经过定点点．……13分。
20、（14分）设集合w由满足下列两个条件的数列构成：
；存在实数m，使。（n为正整数）
ⅰ）在只有5项的有限数列、中，其中=3，，；试判断数列、是否为集合w中的元素；
ⅱ）设是各项为正数的等比数列，是其前项和，，，试证明，并写出的取值范围；
ⅲ）设数列，对于满足条件的m的最小值m0,都有（）。
求证：数列单调递增。
解：(ⅰ对于数列{}，取=，显然不满足集合w的条件①，故不是集合w中的元素2分。
对于数列{}，当n时，不仅有，，，而且有，显然满足集合w的条件①②，故是集合w中的元素。
4分。ⅱ）∵是各项为正数的等比数列，是其前n项和，，，设其公比为q>0，∴，整理得，6q2-q-1=0
q=,∴7分。
对于nn*,有，且，故，且m9分。
（ⅲ）证明：（反证）若数列非单调递增，则一定存在正整数k,使，易证对于任意的nk，都有dndn+1，证明如下：
假设n=m(mk)时，dmdm+1
当n=m+1时，由得，而。
所以，所以，对于任意的nk，都有dndn+1。
显然在这项中一定存在一个最大值，不妨记为，所以，从而．这与题设矛盾．
所以假设不成立，故命题得证14分。
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