丰台区2013-2014学年统一测试数学（理科）2014.3
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
1）设集合， ,则等于。
（a）（b）
c）（d）2）在极坐标系中，点a（）到直线的距离是。
（a）1b）2c）3d）4
3）执行如图所示的程序框图，输出的x值为。
（ab） （cd）
4）已知函数是定义在上的偶函数，且，则下列各式中一定成立的是。
（ab） （cd）
5） “是 “”的。
（a）充分而不必要条件b）必要而不充分条件。
（c）充分必要条件d）既不充分也不必要条件。
6）某企业开展职工技能比赛，并从参赛职工中选1人参加该行业全国技能大赛。经过6轮选拔，甲、乙两人成绩突出，得分情况如茎叶图所示。若甲乙两人的平均成绩分别是，则下列说法正确的是。
a），乙比甲成绩稳定，应该选乙参加比赛。
b），甲比乙成绩稳定，应该选甲参加比赛。
c），甲比乙成绩稳定，应该选甲参加比赛。
d），乙比甲成绩稳定，应该选乙参加比赛。
7）棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体。
的三视图如图所示，那么该几何体的体积是。
（ab）4 （c） （d）3
8）如果某年年份的各位数字之和为7，我们称该年为“七巧年”.例如，今年年份2014的各位数字之和为7，所以今年恰为“七巧年”.那么从2023年到2023年中“七巧年”共有。
（a）24个 （b）21个 （c）19个d）18个。
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
9） 已知，则的值为。
10)已知等比数列中，，，则。
11) 如图，已知圆的两条弦ab与cd相交于点f，e是ab延长线上一点，且df=cf=,af:fb:be=4：2：1.若ce与圆相切，则线段ce的长。
为。12) 已知点f,b分别为双曲线c:的焦点和虚轴端点，若线段fb的中点在。
双曲线c上，则双曲线c的离心率是。
13)已知平行四边形abcd中，点e为cd的中点，， 若∥，则。
14)设不等式组表示的平面区域为m，不等式组表示的平面区域为n.在m内随机取一个点，这个点在n内的概率的最大值是。
三、解答题共6小题，共80分。
15)(13分)已知函数．
ⅰ）求函数的最小正周期；（ⅱ求函数在区间上的最大值和最小值。
(16) (13分)年龄在60岁（含60岁）以上的人称为老龄人，某地区老龄人共有35万，随机调查了。
该地区700名老龄人的健康状况，结果如下表：
其中健康指数的含义是：2表示“健康”，1表示“基本健康”，0表示“不健康，但生活能够自理”，-1表示“生活不能自理”。
ⅰ）估计该地区80岁以下老龄人生活能够自理的概率。
ⅱ）若一个地区老龄人健康指数的平均值不小于1.2，则该地区可被评为“老龄健康地区”
写出该地区老龄人健康指数x分布列，并判断该地区能否被评为“老龄健康地区”.
17) (14分)如图，在棱长为1的正方体abcd-a1b1c1d1中，点e是棱ab上的动点。
ⅰ）求证：da1⊥ed1 ；
ⅱ）若直线da1与平面ced1成角为45o，求的值；
ⅲ）写出点e到直线d1c距离的最大值及此时点e的位置（结论不要求证明）.
18) (13分)已知曲线。
ⅰ）求曲线在点（）处的切线方程；（ⅱ若存在使得，求的取值范围。
19) (14分)如图，已知椭圆e:的离心率为，过左焦点。
且斜率为的直线交椭圆e于a,b两点，线段ab的中点为m,直线：交椭圆e于。
c,d两点。
ⅰ）求椭圆e的方程；（ⅱ求证：点m在直线上；
ⅲ）是否存在实数k,使得三角形bdm的面积是三角形acm的3倍？若存在，求出k的值；
若不存在，说明理由。
丰台区2013-2014学年统一测试数学（理科）2014.3
15.（ⅰy正周期为π. 最大值为，最小值为。
16.解：（ⅰ5分。
ⅱ）该地区老龄人健康指数x的可能取值为2,1,0,-1,其分布列为(用频率估计概率)：
ex=1.15 因为ex<1.2，所以该地区不能被评为“老龄健康地区”.-13分。
17.设e(1,m,0)（0≤m≤1），建系（ⅰ）da1⊥平面abc1d1 --4分。
ⅱ）设平面ced1的一个法向量为，则。
. 因为直线da1与平面ced1成角为45o，所以所以，解得m=.11分。
ⅲ）点e到直线d1c距离的最大值为，此时点e在a点处。--14分。
18.解：（ⅰ切线方程为：y=(a-1)x-1. -4分。
ⅱ）（1）当a>0时，令，则。在内增，在减，最大。
因为存在使得，所以，所以。
2）时， <0恒成立，在r上减，，即存在。综是(-∞0)∪[e,+∞
19. 解：（ⅰ3分（ⅱ）代入成立，所以在上。--8分。
ⅲ）由（ⅱ）知点a到直线cd的距离与点b到直线cd的距离相等，若bdm的面积是acm面积的3倍，则|dm|=3|cm|，因为|od|=|oc|，于是m为oc中点，设点c的坐标为，则。
因为，解得。于是，解得，.
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