浦东新区2012学年度第一学期期末质量测试。
高三数学试卷（理科2013.1
一、填空题（本大题共有14题，满分56分）只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1．若集合，，，则实数 1 .
2．已知二元一次方程组的增广矩阵是，则此方程组的解是 .
3．函数的定义域为 .
4．已知，且，则的最大值为。
5．函数（）的反函数是 （）
6．函数的最小正周期为 .
7．等差数列中，，则该数列的前项和。
8．已知数列是无穷等比数列，其前n项和是，若，则的值为 .
9．若一个圆锥的轴截面是边长为的等边三角形，则这个圆锥的侧面积为 .
10．二项式的展开式前三项系数成等差数列，则。
11．已知甲射手射中目标的频率为，乙射手射中目标的频率为，如果甲乙两射手的射击相互独立，
那么甲乙两射手同时瞄准一个目标射击，目标被射中的频率为 .
12．已知向量与向量，，，的夹角为，当时，的最大值为 .
13．动点在边长为1的正方体的对角线上从向移动，点作垂直于。
面的直线与正方体表面交于，则函数的解析式为或给分。
14．共有种排列（），其中满足“对所有。
都有”的不同排列有种。
二、选择题（本大题共有4题，满分20分）
15．已知△abc两内角a、b的对边边长分别为a、b，则“”是“”的 （）
充分非必要条件必要非充分条件充要条件非充分非必要条件。
16．已知函数，若函数为奇函数，则实数为 （）
17． 若，，，的方差为，则，，，的。
方差为。18．定义域为的函数图象的两个端点为，向量，是图象上任意一点，其中。 若不等式恒成立，则称函数在上满足“范围线性近似”，其中最小的正实数称为该函数的线性近似阀值．
下列定义在上函数中，线性近似阀值最小的是。
三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须写出必要的步骤．
19．（本小题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分）
如图，直三棱柱中，,.
1）求点到平面的距离；
2）求二面角的大小。
解：（1）， 3分。
设点到平面距离为，由。点到平面距离为。 …6分。
2）设的中点为，连结。
是二面角的平面角8分。
二面角的大小为12分。
20．（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
世博中学为了落实上海市教委推出的“阳光运动一小时”活动，计划在一块直角三角形的空地上修建一个占地面积为的矩形健身场地，如图点m在上，点n在上，且p点在斜边上，已知且米，，.
1）试用表示，并求的取值范围；
2）设矩形健身场地每平方米的造价为，再把矩形以外（阴影部分）铺上草坪，
每平方米的造价为（为正常数），求总造价关于的函数；
试问如何选取的长使总造价最低（不要求求出最低造价）.
解：（1）在中，显然，……2分。
矩形的面积，…4分。
于是为所求6分。
2） 矩形健身场地造价 ……7分。
又的面积为，即草坪造价，……8分。
由总造价， ，10分。
11分。当且仅当即时等号成立12分。
此时，解得或，所以选取的长为12米或18米时总造价最低14分。
21．（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
已知复数，.
1）若为实数，求角的值；
2）若复数对应的向量分别是，存在使等式成立，求实数的取值范围。
解：（1），…2分。
4分。又，，即6分。
28分。10分。
得，整理得。……12分。
因为，所以。 只要即可，……13分。
解得或14分。
22．（本小题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）
定义数列，如果存在常数，使对任意正整数，总有成立，那么我们称数列为“摆动数列”．
1）设，（）判断数列、是否为“摆动数列”，并说明理由；
2）已知“摆动数列” 满足，，求常数的值；
3）设，且数列的前项和为，求证：数列是“摆动数列”，并求出常数的取值范围。
解：（1）假设数列是“摆动数列”，即存在常数，总有对任意成立，不妨取时则，取时则，显然常数不存在，所以数列不是“摆动数列2分。
由，于是对任意成立，其中。
所以数列是“摆动数列4分。
2）由数列为“摆动数列”，
即存在常数，使对任意正整数，总有成立；
即有成立。则，……6分。
所以7分。同理8分。
所以，解得即。…9分。
同理，解得；即。 综上。……11分。
3）证明：由13分。
显然存在，使对任意正整数，总有成立，所以数列是“摆动数列14分。
当为奇数时递减，所以，只要即可。
当为偶数时递增，，只要即可。
综上，的取值范围是16分。
取中的任意一个值，并给予证明均给分）如取时，
因为，，存在，使成立。
所以数列是“摆动数列”.
23．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分10分）
设函数 1）求函数和的解析式；
2）是否存在非负实数，使得恒成立，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
3）定义，且。
当时，求的解析式；
已知下面正确的命题：当时，都有恒成立。
对于给定的正整数，若方程恰有个不同的实数根，确定的取值范围；
若将这些根从小到大排列组成数列，求数列所有项的和。
解：（1）函数。
函数……4分。
2），…6分。
当时，则有恒成立。
当时，当且仅当时有恒成立。
综上可知当或时，恒成立8分。
3）当时，对于任意的正整数，都有。
故有…13分。
由可知当时，有，根据命题的结论可得，当时，有，故有。
因此同理归纳得到，当时，……15分。
对于给定的正整数， 时，
解方程得，要使方程在上恰有个不同的实数根，对于任意，必须恒成立，
解得， 若将这些根从小到大排列组成数列，由此可得。……17分。
故数列所有项的和为：
……18分。
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