专题六（2）动能定理机械能守恒
一．动能。二．动能定理。
例1】如图所示，一质量为2 kg的铅球从离地面2 m高处自由下落，陷入沙坑2 cm深处，求沙子对铅球的平均阻力．(g取10 m/s2)
例2】．如图所示，质量为m的木块放在水平桌面上，木块与桌面间的动摩擦因数为u,用轻绳绕过桌边的定滑轮与质量为m的砝码相连。已知m=2m,让绳拉直后使砝码从静止开始下降h的距离（小于桌高），木块仍未离开桌面，则砝码的速度为多少？
例3．物体沿直线运动的v-t关系如图所示，已知在第1秒内合力做功w，则【 】
07上海单科、12）
a.第1秒末到第3秒末合外力做功为4w
b.从第3秒末到第5秒末合外力做功为－2w
c.从第5秒末到第7秒末合外力做功为w
d.从第3秒末到第4秒末合外力做功为－0.75w
例4．如图所示，在光滑的水平面上有一平板车m正以速度v向右运动。现将一质量为m的木块无初速度地放到小车上，由于他们之间的相互作用，小车的速度将发生变化。为使小车保持原来的速度不变，应及时给小车施加一向右的水平恒力f,当f作用一段时间后把它撤去，木块恰能够随小车一起以速度v共同运动，设木块与车之间的动摩擦引数u,求在上述过程中，水平恒力对小车做多少功。
例5．如图所示是一个设计“过山车”的试验装置的原理示意图，光滑斜面ab与竖直面内的圆形轨道在b点平滑连接，圆形轨道半径为r。一个质量为m的小车（可视为质点）在a点由静止释放沿斜面滑下，当它第一次经过b点进入圆形轨道时对轨道的压力为其重力的7倍，小车恰能完成圆周运动并第二次经过最低点沿水平轨道向右运动。已知重力加速度为g。
（1）求a点距水平面的高度h；
（2）假设小车在竖直圆轨道左、右半圆轨道部分克服摩擦阻力做的功相等，求小车第二次经过竖直圆轨道最低点时的速度大小。
练习1：质量为5×103 kg的汽车在t=0时刻速度v0=10 m/s,随后以p=6×104 w的额定功率沿平直公路继续前进，经72 s达到最大速度，设汽车受恒定阻力，其大小为2.5×103 n.
求：1）汽车的最大速度vm; (2)汽车在72 s内经过的路程s.
练习2：（2006广东）风力发电是一种环保的电能获取方式。设计每台风力发电机的功率为40kw。
实验测得风的动能转化为电能的效率约为20%，空气的密度是1.29 kg/m3，当地水平风速约为v=10m/s，问风力发电机的叶片长度约为多少才能满足设计要求？
练习3：2023年11月5日，在新疆召开的“引渤入疆”(指引渤海水进入新疆)研讨会，引起了全国**的广泛关注。其中一个方案是：
从天津取水，由黄旗海—库布齐沙漠—毛乌素沙漠—腾格里沙漠—乌兰布和沙漠—巴丹吉林沙漠，走河西走廊，经疏勒河自流进入罗布泊。此路径中最高海拔约为1200m，从罗布泊到下游的艾丁湖，又有近1000m的落差。此方案是否可行，涉及到环境、能源、技术等多方面的因素。
下面我们仅从能量角度来分析这个方案。取重力加速度g=10m/s2，水的密度ρ1＝1.0×103kg/m3。
1）通过管道提升海水，电能的利用率η1=60%，将1吨海水提升到海拔1200m，需要耗多少电能？利用水的落差发电，发电效率也为η1=60%，在1000m的落差中1吨水可以发多少电能？
2）如果每年调4×109m3海水入疆，尽管利用落差发的电可以全部用来提升海水，但还需要额外提供电能。
i）额外需要的电能可从三峡水电站输送。已知三峡水电站水库面积约1.0×109m2，年平均流量q = 5.
0×1011m3，水库水面与发电机所在位置的平均高度差h=100m，发电站的发电效率η1=60%。求在一年中“引渤入疆”工程额外需要的电能占三峡电站发电量的比例。
ii）我国西北地区风能充足，额外需要的电能也可通过风力发电来解决。通过风轮机一个叶片旋转一周扫过面积的最大风能为可利用风能。取空气密度ρ2＝1.
25kg/m3。某风力发电机的发电效率η2=40%，其风轮机一个叶片旋转一周扫过的面积s=400m2。某地区风速υ=10m/s的时间每年约为5500小时( 合2.
0 × 10 7s )。求在该地区建多少台这样的风力发电机才能满足“引渤入疆”工程额外需要的电能？
练习：4、（下图为蹦极运动的示意图。弹性绳的一端固定在o点，另一端和运动员相连。
运动员从o点自由下落，至b点弹性绳自然伸直，经过合力为零的c点到达最低点d，然后弹起。整个过程中忽略空气阻力。分析这一过程，下列表述正确的是（ ）
经过b点时，运动员的速率最大。
经过c点时，运动员的速率最大。
从c点到d点，运动员的加速度增大。
从c点到d点，运动员的加速度不变。
a.①③b.②③c.①④d.②④
三、机械能守恒。
1、重力势能。
2、弹性势能。
3、机械能。
4、机械能守恒。
例6】如图所示物块和斜面都是光滑的，物块从静止沿斜面下滑过程中：
1）①若斜面固定，物块机械能是否守恒？
若斜面不固定，且地面与斜面间光滑，物块机械能是否守恒？系统机械能是否守恒？
2）被匀速吊起的集装箱的机械能是否守恒？
3）以4g/5的加速度竖直向上做减速运动的物体的机械能是否守恒？
练习5：下列运动过程满足机械能守恒的是（ ）
a.电梯匀速下降过程
b.物体做自由落体运动过程。
c.起重机吊起重物过程。
d.考虑阻力条件下滑雪者沿斜面下滑过程。
条件：公式：
例7】．如图所示，在水平台面上的a点，一个质量为m的物体以初速度v0被抛出，不计空气阻力，求它到达台面下h处的b点时速度的大小．
例8】半径r=0.5m的光滑圆环固定在竖直平面内，轻质弹簧的一端固定在环的最高点a处，另一端系一个质量m=0.2kg的小球，小球套在圆环上，已知弹簧的原长l0=0.
5m，劲度系数k=4.8n/m。将小球从如图所示的位置静止开始释放，小球将沿圆环滑动并通过最低点c，在c点时弹簧的弹性势能ep=0.
6j，（g=10 m/s2）求：
1） 小球经过c点时的速度vc的大小；
2） 小球经过c点时对环的作用力大小和方向。
例9】如图，一很长的、不可伸长的柔软轻绳跨过光滑定滑轮，绳两端各系一小球a和b。a球质量为m，静置于地面；b球质量为3m，用手托住，高度为h，此时轻绳刚好拉紧。从静止开始释放b后，a可能达到的最大高度为
b.1.5h
c.2h d.2.5h
系统的机械能守恒。
例10】．如图所示，长为l的轻杆，一端装有固定光滑的转动轴o，另一端及中点固定着质量相同的b球和a球，将轻杆从水平位置由静止释放，当轻杆摆至竖直位置时，a、b两球的速度大小各是多少？
例11】如图，质量为m1的物体a经一轻质弹簧与下方地面上的质量为m2的物体b相连，弹簧的劲度系数为k，a、b都处于静止状态。一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮，一端连物体a，另一端连一轻挂钩。开始时各段绳都处于伸直状态，a上方的一段绳沿竖直方向，现在挂钩上挂一质量为m3的物体c并从静止状态释放，已知它恰好能使b离开地面但不继续上升。
若将c换成另一个质量为（m1+m3）的物体d，仍从上述初始位置由静止状态释放，则这次b刚离地时d的速度的大小是多少？已知重力加速度为g。
例12】如图所示，一轻质弹簧竖直固定在地面上，自然长度l0=0.50m，上面连接一个质量m1=1.0kg的物体a，平衡时物体距地面h1=0.
40m，此时弹簧的弹性势能ep=0.50j。在距物体a正上方高为h=0.
45m处有一个质量m2=1.0kg的物体b自由下落后，与弹簧上面的物体a碰撞并立即以相同的速度运动，已知两物体不粘连，且可视为质点。g=10m/s2。
求：1）碰撞结束瞬间两物体的速度大小；
2）两物体一起运动第一次具有竖直向上最大速度时弹簧的长度；
3）两物体第一次分离时物体b的速度大小。
四、功能关系。
例13】.一物体静止在升降机的地板上，在升降机加速上升的过程中，地板对物体的支持力所做的功等于( )
a、物体势能的增加量b、物体动能的增加量。
c、物体动能的增加量加上物体势能的增加量 d、物体动能的增加量加上克服重力所做的功。
例14】．如图所示，水平传送带由电动机带动，并始终保持以速度v匀速运动，现将质量为m的某物块由静止释放在传送带上的左端，过一会儿物块能保持与传送带相对静止，设物块与传送带间的动摩擦因数为μ，对于这一过程，下列说法正确的是( )
a．摩擦力对物块做的功为0.5mv2
b．物块对传送带做功为0.5mv2
c．系统摩擦生热为0.5mv2
d．电动机多做的功为mv2
例15】如图所示，绷紧的传送带与水平面的夹角θ=30°，皮带在电动机的带动下，始终保持v0=2m/s的速率运行。现把一质量为m=l0kg的工件(可看为质点)轻轻放在皮带的底端，经时间t=1.9s，工件被传送到h=1.
5m的高处，取g=10m／s2。
求：(1)工件与皮带间的动摩擦因数。
2) 传送带对物体做的功。
3）电动机由于传送工件多消耗的电能。
（4）物体落地的时间。
例16】．一列整体质量为m的列车，在平直的长轨道上匀速前进。突然尾部有质量为m的车厢脱钩，但等到司机发觉而关闭油门时，前部分列车己经行驶了一段长l的路程。设机车的牵引力不变，阻力与车重成正比，求前、后两部分（视为质点）停止点间的距离。
机械能实用导学案
7 1.追寻守恒量 能量 学习目标 1 理解动能 势能及能量的概念与意义。2 能独立分析伽利略理想斜面实验的能量转换和守恒的实例。3 在列举其它能量转化的事例中体会转化与守恒的普遍性。学习过程 课前自学 请同学们在阅读教材的基础上解决以下问题 1 伽利略的理想斜面实验。如图所示为伽利略的理想光滑斜面...
机械能作业
1.如图所示，质量相同的两个小球，分别用长l和2l的细绳悬挂在天花板上，分别拉起小球使线伸直呈水平状态，然后轻轻释放。当小球到达最低位置时 a.两球运动的线速度相等b.两球运动的角速度相等。c.两球的向心加速度相等d.细绳对两球的拉力相等 2.如图所示，长度相同的三根轻杆构成一个正三角形支架，在a处...
机械能作业
1 如图所示，质量为m的物体从倾角为 的斜面上的a点以速度v0沿斜面上滑，由于 mgcos mgsin 所以它滑到最高点后又滑下来，当它下滑到b点时，速度大小恰好也是v0，设物体与斜面间的动摩擦因数为 求ab间的距离 是一段光滑的固定斜面，长s 1m，倾角 53。另有一固定竖直放置的粗糙圆弧形轨道刚...