设是以点为中心的微小体积，是该微小体积内包含的污染物的质量，某时刻，点的浓度定义为。
某一时刻污染物质在水域中的分布，一般来说是随着空间位置的变化而变化的。某时刻水域中某点都有一个确定的浓度与之相对应，所以。
确定了一个浓度场。
费克扩散定律。
费克扩散定律可以表述如下，在单位时间内通过单位面积的溶解质（扩散质）与溶质浓度在该面积的法线方向的梯度成正比例，用数学表示为。
式中，表示溶质在法线方向的单位通量；表示溶质浓度；表示扩散系数；表示溶质浓度在方向的梯度；式中负号表示溶质从高浓度向低浓度扩散。
一般费克定律的数学表示为。
式中，为通量密度向量。设为在方向上的分量，则。
设静止溶液中，含有某种物质的浓度为，以点为中心取出一个微元六面体，六面体的各边长分别为。
设扩散通量密度矢量在三个坐标方向的分量分别为。对于在时间内，由于分子扩散作用引起的微元体内物质质量的增量。在轴方向，由于分子扩散作用引起的物质质量的增量为。
同理在轴方向和轴方向由于分子扩散作用引起的物质质量的增量为与。
在时段内，由于分子扩散作用引起的物质质量的增量为。
另一方面，在时段内微元体中因浓度增加需要的物质质量增量为。
根据质量守恒定律，在时段内微元体中因浓度增加需要的物质质量增量应与在时段内由于分子扩散作用引起的物质质量的增量相等，即。
消去，得。由式代入上式得。
或。式中，为在方向上的分量。
当物质在溶液中扩散为各向同性时，即时，可以改写为。
当物质在溶液中扩散为各向同性时，分子扩散系数为常数时，可以简化为。
假设水体是层流运动，造成污染物质在水体中迁移的主要因素有：随流作用，分子扩散作用。
设流速。在水体中任取一点，以点为中心取出一个微元六面体，六面体的各边长分别为。在时段内进行物质质量平衡分析。
1、由于随流作用，在时段内微元体在轴方向的物质的增量为。
同理在轴方向和轴方向，在时段微元体内物质质量的增量为。
和。综合方向在时段微元体内物质质量的增量为。
2、由于分子扩散作用，在时段微元体内物质质量的增量为。
综合上式可得，由于随流作用和分子扩散作用在时段微元体内物质质量的增量为。
另一方面，在时段内微元体中因浓度增加需要的物质质量增量为。
根据质量守恒定律，得到。
消去，得。由于fick定律代入上式得。
写成标量形式为。
假定水是不可压缩的，则，于是可简化为。
式中，表示方向的扩散系数，若流速场均质，物质扩散各向性，则（常数），此时式（1-1-14）可写成。
若随流扩散是一维情况下，则有。
设水体是一条很长的渠道，在某个固定断面开始不断注入浓度为的污水，使该处维持在一个恒定的浓度为的断面。
设横断面位于坐标处，设渠道流速为，流动方向为正向，流体是不可以压缩均匀流体，则上述问题可以归纳为如下数学模型。
利用拉普拉斯（laplace）变换求数学模型（1-1-17）的解。
令，将微分方程（1-1-17）的两端乘以，并从0到范围内对时间t积分，则得。
常微分方程的通解为。
由于当，，因此要满足边界条件，必须取a=0，故可得。
注意到，可得，所以。
由拉氏逆变换，可得。
注意到，拉氏逆变换为。
把的值代入式（1-1-17），得到数学模型解析解为。
当时，上式右端第二项可以忽略，于是得到近似解为。
式（1-1-21）就是随流情况下一端连续注入污水浓度为的渠道内污染质的扩散规律。
若在t=0时，整个河流水体中含有污染物的浓度为，则此时污染物的扩撒规律为。
设河流一维随流污染物的弥散方程为。
其中为弥散系数，为污染物的降解系数。
稳态是指河流均匀河段定常排污条件，即断面、流速、流量不随时间变化，，此时（1-1-23） 变为。
该方程的通解为。
对于，考虑边界条件，，,又，所以，故方程的解为。
当不考虑弥散作用时，，式子（1-2-24）变为。
解上述方程得。
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