数学典型题型。
一、和差问题。
含义】已知两数的和与差，求这两数。
数量关系】大数=（和+差）÷2
小数=（和-差）÷2
例1：已知两数和是10，差是2，求这两数。
大数：（10+2）÷2=6
小数：（10-2）÷2=4
答：这两数分别是6和4。
例2：有甲乙丙三袋化肥，甲乙两袋共重32千克，乙丙两袋共重30千克，甲丙两袋共重22千克，求三袋化肥各重多少千克？
解题思路：甲乙两袋、乙丙两袋都含有乙，从中可以看出甲比丙多32-30=2千克，且甲是大数，丙是小数，由此可解：
32-30=2（千克）
甲：（22+2）÷2=12（千克）
丙：（22-2）÷2=10（千克）
乙：32-12=20（千克）
答：甲袋化肥重12千克，乙袋化肥重20千克，丙袋化肥重10千克。
例3：甲乙两车原来共装苹果97筐，从甲车取下14筐放到乙车上，结果甲车比乙车还多3筐，两车原来各装苹果多少筐？
解题思路：“从甲车取下14筐放到乙车上，结果甲车比乙车还多3筐”，这说明甲车是大数，乙车是小数，甲与乙的差是14 x 2+3=31，由此可解：
甲：（97+14 x 2+3）÷2=64（筐）
乙：97-64=33（筐）
答：甲车原来装苹果64筐，乙车原来装苹果33筐。
二、和倍问题。
含义】已知两数的和及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），求这两数。
数量关系】小数=总和÷（几倍+1）
大数=总和-小数。
例1：果园里有杏树和桃树共248棵，桃树的棵数是杏树的3倍，求杏树、桃树各多少棵？
杏树：248÷（3+1）=62（棵）
桃树：62 x 3=186（棵）
答：杏树是62棵，桃树是186棵。
例2：甲站原有车52辆，乙站原有车32辆，若每天从甲站开往乙站28辆，从乙站开往甲站24辆，几天后乙站车辆数是甲站的2倍？
解题思路：每天从甲站开往乙站28辆，从乙站开往甲站24辆，相当于每天从甲站开往乙站（28-24）辆。把几天以后甲站的车辆数当作1倍量，这是乙站的车辆数就是2倍量，两站的车辆总数（52+32）就相当于（2+1）倍，那么，几天后甲站的车辆数为：
52+32）÷（2+1）=28（辆）
天数：（52-28）÷（28-24）=6（天）
答：6天后乙站车辆数是甲站的2倍。
例3：甲乙丙三数之和是170，乙比甲的2倍少4，丙比甲的3倍多6，求三数各是多少？
解题思路：乙丙两数都与甲数有关，因此把甲数作为1倍量。因为乙比甲的2倍少4，所以给乙加上4，乙数就变成甲数的2倍；又因为丙比甲的3倍多6，所以丙数减去6就变成甲数的3倍；这时（170+4-6）就相当于（1+2+3）倍。
那么：甲数：（170+4-6）÷（1+2+3）=28
乙数：28x2-4=52
丙数：28x3+6=90
答：甲数是28，乙数是52，丙数是90。
三、和比问题。
含义】已知整体，求部分。
例：甲乙丙三数和为27，甲：乙：丙=2:3:4，求甲乙丙三数。
口诀】家要众人合，分家有原则。
分母比数和，分子自己的。
和乘以比例，就是该得的。
分母比数和，即分母为：2+3+4=9
分子自己的，则甲乙丙三数占和的比例分别为2/9,3/9,4/9。
和乘以比例，则甲为27x2/9=6 ，乙为27x3/9=9 ，丙为27x4/9=12
四、差倍问题（差比问题）
含义】已知两个数的差及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），求这两个数各是多少。
数量关系】小数=两个数的差÷（几倍-1）
大数=小数x 几倍。
口诀】我的比你多，倍数是因果。
分子实际差，分母倍数差。
商是一倍的，乘以各自的倍数，两数便可求得。
例1：甲数比乙数大12，甲：乙=7:4，求两数。
先求一倍的量，12÷（7-4）=4 所以。
甲数为：4 x 7=28 乙数为：4 x 4=16
例2：果园里桃树的棵数是杏树的3倍，而且桃树比杏树多124棵。求杏树、桃树各多少棵？
杏树：124÷（3-1）=62（棵）
桃树：62 x 3=186（棵）
答：杏树是62棵，桃树是186棵。
例3：商场改革经营管理办法后，本月盈利比上月盈利的2倍还多12万元，又知本月盈利比上月盈利多30万元，求这两个月盈利各是多少万元？
解题思路：如果把上月盈利作为1倍量，则（30-12）万元就相当于上月盈利的（2-1）倍，因此：
上月盈利：（30-12）÷（2-1）=18（万元）
本月盈利：18+30=48（万元）
答：上月盈利是18万元，本月盈利是48万元。
例4：粮库有94吨小麦和138吨玉米，如果每天运出小麦和玉米各9吨，问几天后剩下的玉米是小麦的3倍？
解题思路：由于每天运出的小麦和玉米的数量相等，所以剩下的数量差等于原来的数量差（138-94）。把几天后剩下的小麦看着1倍量，则几天后剩下的玉米就是3倍量，那么，（138-94）÷（3-1）倍，因此：
剩下的小麦数量：（138-94）÷（3-1）=22（吨）
运出的小麦数量：94-22=72（吨）
运粮的天数：72÷9=8（天）
答：8天后剩下的玉米是小麦的3倍。
五、倍比问题。
含义】有两个已知的同类量，其中一个量是另一个量的若干倍，解题是先求出这个倍数，再用倍比的方法算出要求的数。
数量关系】倍数=总量÷一个数量。
另一总量=另一数量x倍数。
例：100千克油菜可以榨油40千克，现在有油菜3700千克，可以榨油多少？
3700÷100=37（倍）
40x37=1480（千克）
答：可以榨油1480千克。
六、相遇问题。
含义】两个运动的物体同时由两地出发相向而行，在途中相遇。
数量关系】相遇时间=总路程÷（甲速+乙速）
总路程=（甲速+乙速）x相遇时间。
例1：南京到上海的水路长392千米，同时从两港开出一艘轮船相对而行，从南京开出的船每小时行驶28千米，从上海开出的船每小时行驶21千米，经过几小时两船相遇？
392÷（28+21）=8（小时）
答：经过8小时两船相遇。
例2：小李和小刘在周长为400米的环形跑道上跑步，小李每秒钟跑5米，小刘每秒钟跑3米，他们从同一地点同时出发，反向而跑，那么，二人从出发到第二次相遇需多长时间？
例3：甲乙二人同时从两地骑自行车相向而行，甲每小时行15千米，乙每小时行13千米，两人在距中点3千米处相遇，求两地的距离。
七、追及问题。
含义】两个运动物体在不同地点同时出发（或者在同一地点不同时出发），作同向运动，在后面的行进速度要快一些，在前面的行进速度要慢一些，在一定时间内，后面的物体追上前面的。
数量关系】追及时间=追及路程÷（快速-慢速）
追及路程=（快速-慢速）x追及时间。
例1：好马每天走120千米，劣马每天走75千米，劣马先走12天，好马几天能追上劣马？
解：劣马先走12天能走多少千米？75x12=900（千米）
好几天能追上劣马？ 900÷（120-75）=20（天）
答：好马20天能追上劣马。
例2：小明和小亮在200米环形跑道上跑步，小明跑一圈用40秒，他们从同一地点同时出发，同向而跑。小明第一次追上小亮时跑了500米。求小亮的速度是每秒多少米。
解：小明第一次追上小亮时比小亮多跑了一圈，即200米，此时小亮跑了（500-200）米，要知小亮的速度，须知追及时间，即小明跑了500米所用的时间。又知小明200米用40秒，则跑500米用［40×（500÷200）］秒，所以小亮的速度是：
500-200）÷［40×（500÷200）］=3（米）
答：小亮的速度是每秒3米。
例3：我人民解放军追击一股逃窜的敌人，敌人在16点从甲地以每小时10千米的速度逃跑，解放军在22点接到命令，以每小时30千米的速度从乙地开始追击。已知甲乙两地相距60千米，问解放军几小时可以追上敌人？
解：敌人逃跑时间与解放军追击时间的时差是（22－16）小时，这段时间敌人逃跑的路程是［10×（22－6）］千米，甲乙两地相距60千米。由此推知。
追及时间＝［10×（22－6）＋60］÷（30－10）
220÷20＝11（小时）
答：解放军在11小时后可以追上敌人。
例4：一辆客车从甲站开往乙站，每小时行48千米；一辆货车同时从乙站开往甲站，每小时行40千米，两车在距离两站中点16千米处相遇。求甲乙两站的距离。
解：这道题可以由相遇问题转化为追及问题来解决。从题中可知客车落后于货车（16×2）千米，客车追上货车的时间就是前面所说的相遇时间，这个时间为 16×2÷（48－40）＝4（小时）
所以两站间的距离为（48＋40）×4＝352（千米）
列成综合算式（48＋40）×［16×2÷（48－40）］＝352（千米）
答：甲乙两站的距离是352千米。
例5：兄妹二人同时由家上学，哥哥没分钟走90米，妹妹每分钟走60米。哥哥到校门口时发现忘记带课本，立即沿原路回家去取，行至离校180米处和妹妹相遇。问他们家里学校有多远？
例6：孙亮打算上课前5分钟到学校，他以每小时4千米的速度从家步行去学校，当他走了1千米时，发现手表慢了10分钟，因此立即跑步前进，到学校恰好准时上课。后来算了一下，如果孙亮一开始就从家跑步，可比原来步行早9分钟到学校。
求孙亮跑步的速度。
八、植树问题。
含义】按相等的距离植树，在距离、棵距、棵数这三个量之间，已知其中的两个量，求第三个量。
数量关系】线性植树棵数=距离÷棵距+1
环形植树棵数=距离÷棵距。
面积植树棵数=面积÷（棵距x行距）
口诀】植树多少棵，要问路如何？
直的加上1，圆的是结果。
例1：在一条长为120米的路上植树，间距为4米，植树多少棵？
路是直的，因而植树为：120÷4+1=31（棵）
例2：在一条长为120米的圆形花坛边植树，间距为4米，植树多少棵？
路是圆的，因而植树为：120÷4=30（棵）
九、年龄问题。
含义】这类问题是根据题目的内容而得名，它的主要特点是两人的年龄差不变，但是两人的年龄倍数关系随着年龄的增长在发生变化。
数量关系】年龄问题往往与和差、和倍、差倍问题有着密切联系，尤其与差倍问题的解题思路是一致的，要紧紧抓住“年龄差不变”这个特点。
解题思路和方法】可以利用“差倍问题”的解题思路和方法。
高考典型题型
1 读图19 我国某区域图 回答下列问题。14分 1 简述r河主要的水文特征。5分 2 说明图中l河段水电站分布密集的主要原因。2分 3 说出河西走廊有色金属工业密集，但酸雨少的原因。2分 近40年来，祁连山冰雪融水迅速减少，局部地区的雪线正以年均2 6.5米的速度升高。4 分析说明祁连山冰雪融水迅...
透镜典型题型 经典题型汇总
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考研高等数学典型题型分析
对于考研考生来说，要想在考研数学方面取得比较好的成绩，只有掌握数学的基础，融会贯通，才能取得比较好的成绩。以下是太奇网校为考生做出的解答，希望能对考生有所帮助。一 函数 极限与连续。求分段函数的复合函数 求极限或已知极限确定原式中的常数 讨论函数的连续性，判断间断点的类型 无穷小阶的比较 讨论连续函...