2023年高考(江苏卷)数学详细解答完全解析。
数学i一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。请把答案填写在答题卡相应位置上。
1.已知集合则。
答案： 解析：本题主要考查集合及其表示，集合的运算，容易题。
2.函数的单调增区间是。
答案： 解析：在在大于零，且增。
本题主要考查函数的概念，基本性质，指数与对数，对数函数图象和性质，容易题。
3.设复数i满足（i是虚数单位），则的实部是___
答案：1解析：由得到。
本题主要考查考查复数的概念，四则运算，容易题。
4.根据如图所示的伪**，当输入分别为2，3时，最后输出的的值是___
答案：3解析：，
本题主要考查考查算法的含义，基本算法语句，选择结构和伪**，容易题。
5.从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是___
答案： 解析：从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)共6种。
其中符合条件的有2种，所以概率为。也可以由得到。
本题主要考查随机事件与概率，古典概型的概率计算，互斥事件及其发生的概率。容易题。
6.某老师从星期一到星期五收到信件数分别是10，6，8，5，6，则该组数据的方差。
答案：.解析：五个数的平均数是7,方差为。
还可以先把这组数都减去6再求方差，.
本题主要考查总体分布的估计，总体特征数的估计，平均数方差的计算，考查数据处理能力，容易题。
7.已知则的值为。
答案： 解析：.
本题主要考查三角函数的概念，同角三角函数的基本关系式，正弦余弦函数的诱导公式，两角和与差的正弦余弦正切，二倍角的正弦余弦正切及其运用，中档题。
8.在平面直角坐标系中，过坐标原点的一条直线与函数的图象交于p、q两点，则线段pq长的最小值是___
答案：4.解析：设经过原点的直线与函数的交点为，，则。
本题主要考查幂函数，函数图象与性质，函数与方程，函数模型及其应用，两点间距离公式以及基本不等式，中档题。
9.函数是常数，的部分图象如图所示，则。
答案： 解析：由图可知：
由图知： 本题主要考查正弦余弦正切函数的图像与性质，的图像与性质以及诱导公式，数形结合思想，中档题。
10.已知是夹角为的两个单位向量， 若，则的值为 .
答案： 解析：由得：,
本题主要考查向量的概念，向量的加减数乘运算，向量的数量积及平面向量的平行与垂直，中档题。
11.已知实数，函数，若，则a的值为___
答案： 解析：.
不符合； .
本题主要考查函数概念，函数与方程，函数模型及其应用，含参的分类讨论，中档题。
12.在平面直角坐标系中，已知点p是函数的图象上的动点，该图象在p处的切线交y轴于点m，过点p作的垂线交y轴于点n，设线段mn的中点的纵坐标为t，则t的最大值是。
答案： 解析：设则，过点p作的垂线。
所以，t在上单调增，在单调减，.
本题主要考查指数运算，指数函数图象、导数的概念，导数公式，导数的运算与几何意义、利用导数研究函数，导数的应用、直线方程及其斜率、直线的位置关系，运算求解能力，综合应用有关知识的能力，本题属难题。
13.设，其中成公比为q的等比数列，成公差为1的等差数列，则q的最小值是___
答案：.解析：
由题意：，而的最小值分别为1，2，3；.
本题主要考查综合运用等差、等比的概念及通项公式，不等式的性质解决问题的能力，考查抽象概括能力和推理能力，本题属难题。
14.设集合，
若则实数m的取值范围是。
答案：.解析：当时，集合a是以（2，0）为圆心，以为半径的圆，集合b是在两条平行线之间，（2，0）在直线的上方，又因为此时无解；
当时，集合a是以（2，0）为圆心，以和为半径的圆环，集合b是在两条平行线之间，必有当时，只要，.
当时， 只要，
当时，一定符合。
又因为，.本题主要考查集合概念，子集及其集合运算、线性规划，直线的斜率，两直线平行关系，点到直线的距离，圆的方程，直线与圆的位置关系、含参分类讨论、解不等式，及其综合能力。本题属难题。
二、解答题：本大题共6小题，共90分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（本小题满分14分）在△abc中，角a、b、c所对应的边为。
1）若求a的值；
2）若，求的值。
答案：（1）
2）在三角形中，
由正弦定理得：，而。（也可以先推出直角三角形）
(也能根据余弦定理得到)
解析：本题主要考查同角三角函数基本关系式、和差角公式、正余弦定理及有关运算求解能力，容易题。
16.（本小题满分14分）如图，在四棱锥中，平面pad⊥平面abcd，ab=ad，∠bad=60°，e、f分别是ap、ad的中点。
求证：（1）直线ef//平面pcd；
2）平面bef⊥平面pad.
答案：（1）因为e、f分别是ap、ad的中点，又。
直线ef//平面pcd
2）连接bd为正三角形。
f是ad的中点，
又平面pad⊥平面abcd，
所以，平面bef⊥平面pad.
解析：本题主要考查空间想象能力和推理论证能力、考查平面的表示，直线与平面、平面与平面平行和垂直的判定及性质，容易题。
17.请你设计一个包装盒，如图所示，abcd是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得四个点重合于图中的点p，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，e、f在ab上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设ae=fb=xcm.
1）若广告商要求包装盒侧面积s（cm）最大，试问x应取何值？
2）若广告商要求包装盒容积v（cm）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值。
答案：（1）根据题意有（0所以x=15cm时包装盒侧面积s最大。
2）根据题意有，所以，
当时，所以，当x=20时，v取极大值也是最大值。
此时，包装盒的高与底面边长的比值为。
即x=20包装盒容积v（cm）最大， 此时包装盒的高与底面边长的比值为。
解析：本题主要考查空间想象能力、数学阅读能力及运用数学知识解决实际问题的能力、建立数学函数模型求解能力、导数在实际问题中的应用，中档题。
18.（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系中，m、n分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于p、a两点，其中p在第一象限，过p作x轴的垂线，垂足为c，连接ac，并延长交椭圆于点b，设直线pa的斜率为k.
1）当直线pa平分线段mn时，求k的值；
2）当k=2时，求点p到直线ab的距离d；
3）对任意k>0，求证：pa⊥pb.
答案：（1）由题意知m(-2,0),n(0,),m、n的中点坐标为(-1,),直线pa平分线段mn时，即直线pa经过m、n的中点，又直线pa经过原点，所以。
2）直线，由得，ac方程：即：
所以点p到直线ab的距离。
3）法一：由题意设，a、c、b三点共线，
又因为点p、b在椭圆上，，两式相减得：
法二：设，a、c、b三点共线，又因为点a、b在椭圆上，两式相减得：,法三：由得到。
直线。代入得到，解得，解析：本题主要考查椭圆的标准方程与几何性质，直线的斜率及其方程，点到直线距离公式、直线的垂直关系的判断。
另外还考查了解方程组，共线问题、点在曲线上，字母运算的运算求解能力， 考查推理论证能力。(1)(2)是容易题；（3）是考察学生灵活运用、数学综合能力是难题。
19.（本小题满分16分）已知a，b是实数，函数和是的导函数，若在区间i上恒成立，则称和在区间i上单调性一致。
1）设，若函数和在区间上单调性一致，求实数b的取值范围；
2）设且，若函数和在以a，b为端点的开区间上单调性一致，求|a-b|的最大值。
答案： 1） 因为函数和在区间上单调性一致，所以，
即。即实数b的取值范围是。
2） 由。若，则由， ,和在区间上不是单调性一致，所以。
又。所以要使，只有，取，当时，因此。
当时，因为，函数和在区间（b,a）上单调性一致，所以，
即， 设，考虑点(b,a)的可行域，函数的斜率为1的切线的切点设为。
则；当时，因为，函数和在区间（a, b）上单调性一致，所以，
即， 当时，因为，函数和在区间（a, b）上单调性一致，所以，
即而x=0时，不符合题意，
当时，由题意：
综上可知，。
解析：本题主要考查单调性概念、导数运算及应用、含参不等式恒成立问题，综合考查、线性规划、解二次不等式、二次函数、化归及数形结合的思想，考查用分类讨论思想进行探索分析和解决问题的综合能力。(1)中档题；（2）难题。
20.（本小题满分16分）设m为部分正整数组成的集合，数列的首项，前n项和为，已知对任意整数k属于m，当n>k时，都成立。
1）设m=｛1｝，，求的值；（2）设m=｛3，4｝，求数列的通项公式。
答案：（1）即：
所以，n>1时，成等差，而，
2）由题意：，当时，由（1）（2）得：
由（3）（4）得：
由（1）（3）得：
由（2）（4）得：
由（7）（8）知：成等差，成等差；设公差分别为：
由（5）（6）得：
由（9）（10）得： 成等差，设公差为d,在（1）（2）中分别取n=4,n=5得：
解析：本题主要考查数列的概念，通项与前n项和的关系，等差数列概念及基本性质、和与通项关系、集合概念、全称量词，转化与化归、考查分析**及逻辑推理解决问题的能力，其中（1）是中等题，（2）是难题。
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