2023年上海市t i杯高二年级数学竞赛。
一、填空题（共8小题，前4小题每题7分，后4小题每题8分，满分60分）
1、正整数的不同的正约数的个数是。
2、关于的不等式的整数解集是 ．
3、在一个袋中有100个编号分别为的同样大小的小球，从中任意取出3个小球，那么这3个小球的编号和是3的倍数的概率是用最简分数表示）
4、设函数y=的图像与函数的图像最左边的两个交点为a，b，那么精确到0.0001）
5、 如图，是棱长为100 cm的正方体，动点从顶点出发以3（cm/秒）的速度沿线段匀速运动，动点从顶点与动点同时出发，以2（cm/秒）的速度沿线段匀速运动，在运动过程中，的最短距离是精确到cm）
6、 2015可以分解成3个素数的积：，其中有两个不同的素因数13与31的个位数字与十位数字可以互换，这里称为可翻转的．小于10000的正整数中，共有个数可以分解为3个素因数的乘积，并且其中有两个不同的二位数的素因数是可翻转的．
7、 三位数（是中的最小数）使得是一个完全平方数，则满足条件的。
8、若表示两个不同的数码，使得是10位数，且10个数码互不相同，则。
二、解答题（以下4题必须写出解题的必要步骤，每题15分，共60分）．
9、如图，在双曲线与的右半支上分别有点与，使得是正方形，且边与坐标轴平行，求正方形的面积．
【解。10、如图，点a为x轴正半轴上一点，∠aon＝60°，点b为on上的一点，且ab＝2，点c为ab的中点，点c关于ob的对称点为d，求点d的轨迹方程，并画出d轨迹的大致图像．
11、在平面直角坐标系中，抛物线（为正常数）的内部有无穷多个圆，圆心都在轴上．对每个整数，圆都与抛物线相切，且与圆外切（如图）．若圆的半径为，且过抛物线的顶点，求圆的半径．
12、对两个集合，定义集合如下：
且且．设为大于的整数，是的所有子集，是一个行列的数表．对任意，将集合中所有元素之和（约定空集的元素和为）填在数表的第行第列的位置上．求数表中所有数之和．
2023年上海市t i杯高二年级数学竞赛答案。
一、填空题（前4小题每题7分，后4小题每题8分，满分60分）
5. cm6.
二、解答题（以下4题必须写出解题的必要步骤，每题15分，共60分）．
9、如图，在双曲线与的右半支上分别有点与，使得是正方形，且边与坐标轴平行，求正方形的面积．（精确到0.0001）
【解】设点，．则点的纵坐标，代入双。
曲线方程得，点的横坐标为，于是。
由，得 解得。
所以，正方形的面积为。
10、如图，点a为x轴正半轴上(包含原点)一点，∠aon＝60°，点b为on上的一点，且ab＝2，点c为ab的中点，点c关于ob的对称点为d，求点d的轨迹方程，并画出d轨迹的大致图像．
解】如图，设点a的坐标为（2a，0），因为中，得，所以。
点b的坐标为，同理，则点a关于ob对称的点e的坐标为。
设点d（x，y），因为点d为be中点，故点d坐标为，即，．
由，得，故。
所以，又因为，，
所以．点d的轨迹方程为，．点d轨迹的大致图像如下图．
11、在平面直角坐标系中，抛物线（为正常数）的内部有无穷多个圆，圆心都在轴上．对每个整数，圆都与抛物线相切，且与圆外切（如图）．若圆的半径为，且过抛物线的顶点，求圆的半径．
解】设圆的半径为，并记．
圆的圆心坐标为，它的方程为
将上式与抛物线方程联立，消去得。
即。因为圆与抛物线相切，所以上述关于的二次方程有重根，故
所以。令，又，
于是。将上面两式相减得 ，即。
因为，所以，故．所以，是公差为的等差数列，结合，可得。
所以。12、对两个集合，定义集合如下：
且且．设为大于的整数，是的所有子集，是一个行列的数表．对任意，将集合中所有元素之和（约定空集的元素和为）填在数表的第行第列的位置上．
求数表中所有数之和．
解】解法一：在对表中的各数求和时，我们计算每个被计算的次数，实际上就是要计算满足的所有有序数对的个数．
对于元素而言，只有两种情况，即或者；对于任一元素，它与集合的从属关系有种情况，因此满足的有序数对有对．于是每个在求和时被计算了次．故数表中所有数之和为。
解法二：我们将集合与数表改记为，并对一切的正整数考虑此问题，即求中各数的和．在的情形下，用表示中的所有元素之和，．那么．
显然．当时，我们考虑与的关系．注意到的排列次序不影响的值，我们不妨假设是的所有包含元素的子集．易知。
当时，注意到。
故。从而结合①知，上式化为，注意到，故。
所以．解法三：我们记表示中所有元素之和，则数表的第行第列的位置上填写的数为．记分别表示集合在全集下的补集，我们证明对任意两个子集，与是的一个划分，即：，且．
这等价于证明对任意，恰属于与之一即可．
事实上，若同时属于或同时不属于，即或，则有且；若恰属于之一，则有且．
因此上述结论成立．从而对任意的，有。
因此有。其中“”是对的个互补子集对求和．
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