第7节圆锥曲线的综合问题。
选题明细表】
基础巩固(时间：30分钟)
1.已知抛物线y2=2x,过点(-1,2)作直线l,使l与抛物线有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l共有( d )
a)0条 (b)1条 (c)2条 (d)3条。
解析：因为点(-1,2)在抛物线y2=2x的左侧，所以该抛物线一定有两条过点(-1,2)的切线，过点(-1,2)与x轴平行的直线也与抛物线只有一个交点，所以过点(-1,2)有3条直线与抛物线有且只有一个交点。故选d.
2.已知椭圆+=1以及椭圆内一点p(4,2),则以p为中点的弦所在直线的斜率为( b )
a) (b)- c)2 (d)-2
解析：设弦的端点a(x1,y1),b(x2,y2),则x1+x2=8,y1+y2=4,两式相减，得+=0,所以=-,所以k==-
故选b.3.过点p(1,1)作直线与双曲线x2-=1交于a,b两点，使点p为ab中点，则这样的直线( d )
a)存在一条，且方程为2x-y-1=0
b)存在无数条。
c)存在两条，方程为2x±(y+1)=0
d)不存在。
解析：设a(x1,y1),b(x2,y2),x1+x2=2,y1+y2=2, =1,- 1,两式相减得(x1-x2)(x1+x2)- y1-y2)(y1+y2)=0,所以x1-x2= (y1-y2),即kab=2,故所求直线方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.
联立可得2x2-4x+3=0,但δ=(4)2-4×2×3<0,此方程没有实数解，故这样的直线不存在。故选d.
4.已知点a(2,0),抛物线c:x2=4y的焦点为f,射线fa与抛物线c相交于点m,与其准线相交于点n,则|fm|∶|mn|等于( c )
a)2∶ (b)1∶2 (c)1∶ (d)1∶3
解析：fa:y=-x+1,与x2=4y联立，得xm=-1,fa:y=-x+1,与y=-1联立，得n(4,-1),由三角形相似知==.故选c.
5.(2017·柳州市、钦州市一模)过双曲线-=1(a>0,b>0)的左焦点f作直线l与双曲线交于a,b两点，使得|ab|=4b,若这样的直线有且仅有两条，则离心率e的取值范围是( d )
a)(1,) b)(,
c)(,d)(1,)∪
解析：过左焦点的直线如果与双曲线的两支相交，得最短弦为2a;
如果与双曲线的一支相交得最短弦长为，此时弦垂直于x轴，因为满足|ab|=4b的弦有且仅有两条，所以得如图两种情况。或。或 ②
由①得所以。
所以。解得。
结合e>1得，1由②同理解得e>,综合可得，有2条直线符合条件时，e>或16.已知椭圆c:+=1(a>b>0),f(,0)为其右焦点，过f且垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2.
则椭圆c的方程为 .
解析：把x=c代入椭圆方程解得y=±,所以弦长=2,则解得。
所以椭圆c的方程为+=1.
答案：+=1
7.过点m(2,-2p)作抛物线x2=2py(p>0)的两条切线，切点分别为a,b,若线段ab的中点的纵坐标为6,则p的值是 .
解析：抛物线x2=2py是关于x的二次函数y=x2,其导函数为y′=,设点a(x1,y1),b(x2,y2),则切线ma的方程是y-y1=(x-x1),即y=x-.又点m(2,-2p)位于直线ma上，于是有-2p=×2-,即-4x1-4p2=0;
同理有-4x2-4p2=0,因此x1,x2是方程x2-4x-4p2=0的两根，则x1+x2=4,x1x2=-4p2.
由线段ab的中点的纵坐标是6得，y1+y2=12,即==12,=12,解得p=1或p=2.
答案：1或2
8.(2017·邯郸市二模)已知抛物线c:y2=2px(p>0)的焦点为f,以抛物线c上的点m(x0,2)(x0>)为圆心的圆与线段mf相交于点a,且被直线x=截得的弦长为||,若=2,则||=
解析：由题意，|mf|=x0+.
因为圆m与线段mf相交于点a,且被直线x=截得的弦长为||,所以|ma|=2(x0-).
因为=2,所以|mf|=|ma|,所以x0=p,所以2p2=8,所以p=2,所以||=1.
答案：1能力提升(时间：15分钟)
9. f为椭圆+y2=1的右焦点，第一象限内的点m在椭圆上，若mf⊥x轴，直线mn与圆x2+y2=1相切于第四象限内的点n,则|nf|等于( a )
a) (b) (c) (d)
解析：因为mf⊥x轴，f为椭圆+y2=1的右焦点，所以f(2,0),m(2,),设lmn:y-=k(x-2),n(x,y),则o到lmn的距离d==1,解得k=(负值舍去).
又因为。即n(,-所以|nf|==故选a.
10.(2017·泉州市模拟)椭圆+=1的左、右焦点分别为f1,f2,过椭圆的右焦点f2作一条直线l交椭圆于p,q两点，则△f1pq内切圆面积的最大值是 .
解析：因为三角形内切圆的半径与三角形周长的乘积是面积的2倍，且△f1pq的周长是定值8,所以只需求出△f1pq面积的最大值。
设直线l方程为x=my+1,与椭圆方程联立得。
3m2+4)y2+6my-9=0.
设p(x1,y1),q(x2,y2),则y1+y2=-,y1y2=-,于是=|f1f2|·|y1-y2|
设m2+1=t∈[1,+∞则==,在t∈[1,+∞内，9t+是单调递增的，所以t=1取得最大的=12·=3.
所以内切圆半径r=≤,因此其面积最大值是π.
答案：π11.(2017·武汉市模拟)已知直线mn过椭圆+y2=1的左焦点f,与椭圆交于m,n两点。直线pq过原点o与mn平行，且pq与椭圆交于p,q两点，则= .
解析：不妨取直线mn⊥x轴，椭圆+y2=1的左焦点f(-1,0),令x=-1,得y2=,所以y=±,所以|mn|=,此时|pq|=2b=2,则==2.
答案：212.(2017·鞍山市一模)设a,b分别为椭圆+=1(a>b>0)和双曲线-=1的公共顶点，p,m分别为双曲线和椭圆上异于a,b的两动点，且满足+=λ其中λ∈r,|λ1,设直线ap,bp,am,bm的斜率分别为k1,k2,k3,k4且k1+k2=5,则k3+k4= .
解析：如图所示，因为满足+=λ其中λ∈r,|λ1,所以-2=λ·2),所以o,m,p三点共线。
设p(x1,y1),m(x2,y2),=k≠0.
则-=1,+=1,所以=,=因为k1+k2=5,所以5=+=
所以k3+k4=+=5.
圆锥曲线 直线与圆锥曲线的位置关系
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直线与圆的位置关系第一课时说课稿整理
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