2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）
如果ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根分别是x1，x2，那么x1＋x2＝，x1·x2＝．这一关系也被称为韦达定理．
特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x2＋px＋q＝0，若x1，x2是其两根，由韦达定理可知
x1＋x2＝－p，x1·x2＝q，我们学习了韦达定理，可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出k的值．
例若x1和x2分别是一元二次方程2x2＋5x－3＝0的两根．
（1）求| x1－x2|的值；
2）求的值；
3）x13＋x23．
解：∵x1和x2分别是一元二次方程2x2＋5x－3＝0的两根，）．
（3）x13＋x23＝(x1＋x2)( x12－x1x2＋x22)＝(x1＋x2)[ x1＋x2) 2－3x1x2]
说明：一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题，为了解题简便，我们可以**出其一般规律：
设x1和x2分别是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），则，| x1－x2|＝
于是有下面的结论：
若x1和x2分别是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），则| x1－x2|＝（其中δ＝b2－4ac）．
今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论．
例6 若关于x的一元二次方程x2－x＋a－4＝0的一根大于零、另一根小于零，求实数a的取值范围．
解：设x1，x2是方程的两根，则。
x1x2＝a－4＜0
且δ＝(1)2－4(a－4)＞0
由①得 a＜4，由②得 a＜．
a的取值范围是a＜4．
练习：1．选择题：
1）已知关于x的方程x2＋kx－2＝0的一个根是1，则它的另一个根是（ ）
（a）－3b）3c）－2d）2
2）下列四个说法：
①方程x2＋2x－7＝0的两根之和为－2，两根之积为－7；
方程x2－2x＋7＝0的两根之和为－2，两根之积为7；
方程3 x2－7＝0的两根之和为0，两根之积为；
方程3 x2＋2x＝0的两根之和为－2，两根之积为0．
其中正确说法的个数是。
（a）1个b）2个c）3个 （d）4个。
3）关于x的一元二次方程ax2－5x＋a2＋a＝0的一个根是0，则a的值是（ ）
a）0b）1c）－1 （d）0，或－1
2．填空：1）方程kx2＋4x－1＝0的两根之和为－2，则k
2）方程2x2－x－4＝0的两根为α，β则α2＋β2
3）已知关于x的方程x2－ax－3a＝0的一个根是－2，则它的另一个根是。
4）方程2x2＋2x－1＝0的两根为x1和x2，则| x1－x2
3．试判定当m取何值时，关于x的一元二次方程m2x2－(2m＋1) x＋1＝0有两个不相等的实数根？有两个相等的实数根？没有实数根？
4．求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x2－7x－1＝0各根的相反数．
5（1）若m，n是方程x2＋2005x－1＝0的两个实数根，则m2n＋mn2－mn的值等于。
2）如果a，b是方程x2＋x－1＝0的两个实数根，那么代数式a3＋a2b＋ab2＋b3的值是。
6、关于x的方程的两根的平方不大于25，求最大的整数m。
7、关于x的方程的两实根之积是两实根之和的2倍，求m的值。
8、求证：不论m为任何实数，关于x的方程x2－2mx+6m－10=0总有两个不相等的实数根。
9、已知是方程的二根，求。
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质。
二次函数y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)中，a决定了二次函数图象的开口大小及方向；h决定了二次函数图象的左右平移，而且“h正左移，h负右移”；k决定了二次函数图象的上下平移，而且“k正上移，k负下移”．
所以，y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象可以看作是将函数y＝ax2的图象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)具有下列性质：
1）当a＞0时，函数y＝ax2＋bx＋c图象开口向上；顶点坐标为，对称轴为直线x＝－；当x＜时，y随着x的增大而减小；当x＞时，y随着x的增大而增大；当x＝时，函数取最小值y＝．
2）当a＜0时，函数y＝ax2＋bx＋c图象开口向下；顶点坐标为，对称轴为直线x＝－；当x＜时，y随着x的增大而增大；当x＞时，y随着x的增大而减小；当x＝时，函数取最大值y＝．
例1 求二次函数y＝－3x2－6x＋1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当x取何值时，y随x的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象．
例2 某种产品的成本是120元/件，试销阶段每件产品的售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间关系如下表所示：
若日销售量y是销售价x的一次函数，那么，要使每天所获得最大的利润，每件产品的销售价应定为多少元？此时每天的销售利润是多少？
分析：由于每天的利润＝日销售量y×(销售价x－120)，日销售量y又是销售价x的一次函数，所以，欲求每天所获得的利润最大值，首先需要求出每天的利润与销售价x之间的函数关系，然后，再由它们之间的函数关系求出每天利润的最大值．
解：由于。设每天的利润为z（元），则。
z＝(－x+200)(x－120)＝－x2＋320x－24000
＝－(x－160)2＋1600，当x＝160时，z取最大值1600．
例3 把二次函数y＝x2＋bx＋c的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数y＝x2的图像，求b，c的值．
解法一：y＝x2＋bx＋c＝(x+)2，把它的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到的图像，也就是函数y＝x2的图像，所以，解得b＝－8，c＝14．
解法二：把二次函数y＝x2＋bx＋c的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数y＝x2的图像，等价于把二次函数y＝x2的图像向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到函数y＝x2＋bx＋c的图像．
由于把二次函数y＝x2的图像向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到函数y＝(x－4)2＋2的图像，即为y＝x2－8x＋14的图像，∴函数y＝x2－8x＋14与函数y＝x2＋bx＋c表示同一个函数，∴b＝－8，c＝14．
例4 已知函数y＝x2，－2≤x≤a，其中a≥－2，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x的值．
分析：本例中函数自变量的范围是一个变化的范围，需要对a的取值进行讨论．
解：（1）当a＝－2时，函数y＝x2的图象仅仅对应着一个点(－2，4)，所以，函数的最大值和最小值都是4，此时x＝－2；
2）当－2＜a＜0时，由图2．2－6①可知，当x＝－2时，函数取最大值y＝4；当x＝a时，函数取最小值y＝a2；
3）当0≤a＜2时，由图2．2－6②可知，当x＝－2时，函数取最大值y＝4；当x＝0时，函数取最小值y＝0；
4）当a≥2时，由图2．2－6③可知，当x＝a时，函数取最大值y＝a2；当x＝0时，函数取最小值y＝0．
说明：在本例中，利用了分类讨论的方法，对a的所有可能情形进行讨论．此外，本例中所研究的二次函数的自变量的取值不是取任意的实数，而是取部分实数来研究，在解决这一类问题时，通常需要借助于函数图象来直观地解决问题．
练习。1．选择题：
1）下列函数图象中，顶点不在坐标轴上的是。
（a）y＝2x2b）y＝2x2－4x＋2
c）y＝2x2－1d）y＝2x2－4x
2）函数y＝2(x－1)2＋2是将函数y＝2x2
a）向左平移1个单位、再向上平移2个单位得到的。
b）向右平移2个单位、再向上平移1个单位得到的
c）向下平移2个单位、再向右平移1个单位得到的
d）向上平移2个单位、再向右平移1个单位得到的。
2．填空题。
1）二次函数y＝2x2－mx＋n图象的顶点坐标为(1，－2)，则m＝ ，n
2）已知二次函数y＝x2+(m－2)x－2m，当m＝ 时，函数图象的顶点在y轴上；当m＝ 时，函数图象的顶点在x轴上；当m＝ 时，函数图象经过原点．
3）函数y＝－3(x＋2)2＋5的图象的开口向 ，对称轴为顶点坐标为当x时，函数取最值y＝ ；当x 时，y随着x的增大而减小．
3．求下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大（小）值及y随x的变化情况，并画出其图象．
1）y＝x2－2x－32）y＝1＋6 x－x2．
4．已知函数y＝－x2－2x＋3，当自变量x在下列取值范围内时，分别求函数的最大值或最小值，并求当函数取最大（小）值时所对应的自变量x的值：
1）x≤－2；（2）x≤2；（3）－2≤x≤1；（4）0≤x≤3．
作业：1、 如果方程的两根为，且，求实数m的值。
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