一元二次方程。
一、一元二次方程的概念：
问题（1）有一面积为54m2的长方形，将它的一边剪短5m，另一边剪短2m，恰好变成一个正方形，那么这个正方形的边长是多少？
如果假设剪后的正方形边长为x，那么原来长方形长是宽是___根据题意，得整理，得。
归纳：（1）只含一个未知数x；（2）最高次数是2次的；（3）整式方程．
因此，像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．
一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．
例1．将方程3x（x-1）=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．
注意：二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号。
例2．将方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项．
练习：判断下列方程是否为一元二次方程？
1)3x+2=5y-3 (2) x2=4 (3) 3x2-=0 (4) x2-4=(x+2) 2 (5) ax2+bx+c=0
例3．求证：关于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程．
练习： 一、选择题。
1．在下列方程中，一元二次方程的个数是（ ）
①3x2+7=0 ②ax2+bx+c=0 ③（x-2）（x+5）=x2-1 ④3x2-=0
a．1个 b．2个 c．3个 d．4个。
2．方程2x2=3（x-6）化为一般形式后二次项系数、一次项系数和常数项分别为（ ）
a．2，3，-6 b．2，-3，18 c．2，-3，6 d．2，3，6
3．px2-3x+p2-q=0是关于x的一元二次方程，则（ ）
a．p=1 b．p>0 c．p≠0 d．p为任意实数。
二、填空题。
1．方程3x2-3=2x+1的二次项系数为___一次项系数为常数项为。
2．一元二次方程的一般形式是。
3．关于x的方程（a-1）x2+3x=0是一元二次方程，则a的取值范围是___
3、综合提高题。
1、a满足什么条件时，关于x的方程a（x2+x）=x-（x+1）是一元二次方程？
2、关于x的方程（2m2+m）xm+1+3x=6可能是一元二次方程吗？为什么？
3、方程（2a—4）x2—2bx+a=0, 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？
4、当m为何值时，方程(m+1)x／4m／-4+27mx+5=0是关于的一元二次方程。
二、一元二次方程的解：
复习：方程的解。
一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．（只含有一个未知数的方程的解，又叫方程的根）
例1．下面哪些数是方程2x2+10x+12=0的根？
例2.若x=1是关于x的一元二次方程a x2+bx+c=0(a≠0)的一个根，求代数式2007(a+b+c)的值。
练习：关于x的一元二次方程(a-1) x2+x+a 2-1=0的一个根为0,则求a的值。
例3．你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？
（1）x2-64=0 （2）3x2-6=0 （3）x2-3x=0
三、一元二次方程的解法。
一）、直接开平方法。
问题1．填空。
1）x2-8x+__x-__2；（2）9x2+12x+__3x+__2；（3）x2+px+__x+__2．
问题2：目前我们都学过哪些方程？二元怎样转化成一元？一元二次方程与一元一次方程有什么不同？二次如何转化成一次？怎样降次？以前学过哪些降次的方法？
方程x2=9，根据平方根的意义，直接开平方得x=±3，如果x换元为2t+1，即（2t+1）2=9，能否也用直接开平方的方法求解呢？
例1：解方程：(1)(2x-1) 2=52)x 2+6x+9=23)x 2-2x+4=-1
例2．市**计划2年内将人均住房面积由现在的10m2提高到14.4m，求每年人均住房面积增长率．
解一元二次方程的共同特点：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．这种思想称为“降次转化思想”． 由应用直接开平方法解形如x2=p（p≥0），那么x=±转化为应用直接开平方法解形如（mx+n）2=p（p≥0），那么mx+n=±，达到降次转化之目的．若p＜0则方程无解。
练习：一、选择题。
1．若x2-4x+p=（x+q）2，那么p、q的值分别是（ ）
a．p=4，q=2 b．p=4，q=-2 c．p=-4，q=2 d．p=-4，q=-2
2．方程3x2+9=0的根为（ ）
a．3 b．-3 c．±3 d．无实数根。
二、填空题。
1．若8x2-16=0，则x的值是。
2．如果方程2（x-3）2=72，那么，这个一元二次方程的两根是___
3．如果a、b为实数，满足+b2-12b+36=0，那么ab的值是___
三、综合提高题。
1．解关于x的方程（x+m）2=n．
二）、配方法。
1、解下列方程。
（1）3x2-1=5 （2）4（x-1）2-9=0 （3）4x2+16x+16=94) 4x2+16x=-7
上面的方程都能化成x2=p或（mx+n）2=p（p≥0）的形式，那么可得。
x=±或mx+n=±（p≥0）．
如：4x2+16x+16=（2x+4）2 ,你能把4x2+16x=-7化成（2x+4）2=9吗？
2、要使一块矩形场地的长比宽多6m，并且面积为16m2,场地的长和宽各是多少？
转化： x2+6x-16=0移项→x2+6x=16
两边加（6/2）2使左边配成x2+2bx+b2的形式 → x2+6x+32=16+9
左边写成平方形式 → x+3）2=25 降次→x+3=±5 即 x+3=5或x+3=-5
解一次方程→x1=2，x2= -8
可以验证：x1=2，x2= -8都是方程的根，但场地的宽不能使负值，所以场地的宽为2m，常为8m.
像上面的解题方法，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法．通过配方使左边不含有x的完全平方形式的一元二次方程化为左边是含有x的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程的方程。
配方法解一元二次方程的一般步骤：
1)将方程化为一般形式；（2）二次项系数化为1；（3）常数项移到右边；
4）方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；
5）变形为(x+p)2=q的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p±√q；如果q＜0,方程无实根．
例1．用配方法解下列关于x的方程。
（1）x2-8x+1=02）x2-2x-=0
例2．解下列方程。
（1）2x2+1=3x2）3x2-6x+4=03）（1+x）2+2（1+x）-4=0
例3求证：无论y取何值时，代数式-3 y2+8y-6恒小于0
例4、用配方法解方程 ：ax2+bx+c=0（a≠0）
练习： 一、选择题。
1．将二次三项式x2-4x+1配方后得（ ）
a．（x-2）2+3 b．（x-2）2-3 c．（x+2）2+3 d．（x+2）2-3
2．已知x2-8x+15=0，左边化成含有x的完全平方形式，其中正确的是（ ）
3．如果mx2+2（3-2m）x+3m-2=0（m≠0）的左边是一个关于x的完全平方式，则m等于（ ）
a．1 b．-1 c．1或9 d．-1或9
4．配方法解方程2x2-x-2=0应把它先变形为（ ）
a．（x-）2= b．（x-）2=0 c．（x-）2= d．（x-）2=
5．下列方程中，一定有实数解的是（ ）
a．x2+1=0b．（2x+1）2=0 c．（2x+1）2+3=0 d．（ x-a）2=a
6．已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，则x+y+z的值是（ ）
a．1 b．2 c．-1 d．-2
二、填空题 1．方程x2+4x-5=0的解是___
2．代数式的值为0，则x的值为___
3．如果16（x-y）2+40（x-y）+25=0，那么x与y的关系是___
4．已知（x+y）（x+y+2）-8=0，求x+y的值，若设x+y=z，则原方程可变为___所以求出z的值即为x+y的值，所以x+y的值为___
一元二次方程的解法 第一课时
一 素质教育目标。一 知识教学点 认识形如或者 的一元二次方程，并且使用直接开平方法解方程 二 能力训练点 培养学生准确而简洁的计算能力以及抽象概括能力 三 情感渗透点 通过方程两边同时开平方，将陌生的一元二次方程转化为熟悉的一元一次方程，再通过解熟悉的一元一次方程，从而求出原一元二次方程的解 在此...
一元二次方程第一课时
22 1一元二次方程第一课时。班级 主备教师 备课组长 领导批阅 上课时间 年月日。教师寄语 成功 艰苦劳动 正确方法 少说空话。二次备课。学习目标 掌握一元二次方程的概念 利用一般形式ax2 bx c 0 a 0 求相关系数 会应用一元二次方。程概念判断是否是一元二次方程等 重 难 点预见 一元二...
一元二次方程 第一课时
一 温故互查。我们已经学习过的方程有一元一次方程 二元一次方程 组 分式方程，请你分别举一个例子。一元一次方程二元一次方程。分式方程。二 设问导读。1 阅读问题1并回答 题中的等量关系是。设切去的正方形的边长为xcm，则底面的长可表示为 底面的宽可表示为 根据等量关系，可列方程 整理化简后方程可变形...