二次函数综合题的解题策略（周子乔12-27）
二次函数既是中考的重点内容，也是热点问题。而二次函数综合题在各级****中都属于难度较大的问题，要求同学们不但对于二次函数本身的内容掌握要牢固，而且还要善于将二次函数和其他的有关知识（方程、不等式以及几何等知识）“攀亲”，搞好关系，这样问题的综合层次和要求都比较高 ．解决这类问题的关键就是要“沉得住气”，认真仔细地将题目中所提供的信息进行加工梳理，有条不紊地进行“抽丝剥茧”，最终解决问题 ．下面略举几例，谈谈二次函数综合题的常见的解题策略 ．
一、得意知“形”，由“形”想“数”
例1 已知函数y＝x2＋bx＋2的图象经过点（3，2）．
1）求这个函数的关系式；
2）画出它的图象；
3）根据图象指出：当x取何值时，y≥2？
分析首先，利用待定系数法，可以求出b的值，从而获得函数表达式；其次，根据函数关系式不难知“形”——用描特殊点法画出函数图象；第三，借助函数图象，由“形”想“数”，要“确定y≥2时，x的取值范围”就是要求位于“直线y=2上方”图象的自变量取值范围．
解 （1）根据题意，得 2＝9＋3b＋2，解得 b＝－3．
函数关系式为y＝x2－3x＋2．
2）易求该抛物线与x轴的两个交点坐标为（1，0）、（2，0），与y轴的交点坐标为（0，2），对称轴为．函数y＝x2－3x＋2的图象如图1所示．
3）根据图象可得，当y＝2时，对应的x的值为0和3 ．因此，当x≤0或x≥3时，y≥2．
评析充分利用函数图象的直观性，分析解决问题是体现“数形结合”思想一个重要方面．本题还可以直接指出“当x取何值时，y≤2？”以及根据图象写出“不等式x2－3x＋2≤0的解集”，这两个问题，请同学们自行写出。
二、函数与方程“攀亲”，由方程求函数。
例2 如图2，一元二次方程的两根，（＜是抛物线与轴的两个交点，的横坐标，且此抛物线过点a（3，6）．
1)求此二次函数的解析式；
2)设此抛物线的顶点为p，对称轴与线段ac相交于点q，求点p和点q的坐标；
3)在x轴上有一动点m，当mq+ma取得最小值时，求m点的坐标．
分析 （1）求出方程的两个根，就相当于知道了b，c两点的坐标，进而由a，b，c三点的坐标，利用待定系数法，很让容易求出二次函数的解析式；（2）要求交点q的坐标，只要函数与方程“攀亲”，将该抛物线的“对称轴方程”与“直线ac的解析式”联立得方程组，解这个方程组就可得到；（3）要求“mq+ma”的最小值，只需作点a关于x轴的对称点即可，用对称性及“两点之间线段最短”的几何知识加以解决。
解 (1)解方程，得=-3， =1.抛物线与x轴的两个交点坐标为：c（-3，0），b（1，0）.将 a（3，6），b（1，0），c（-3，0）代入抛物线的解析式，得。
解这个方程组，得。
抛物线解析式为。
2)由，得抛物线顶点p的坐标为（-1，-2），对称轴为直线x=-1.
设直线ac的函数关系式为y=kx+b,将a（3，6），c（-3，0）代入，得。
解这个方程组，得。
直线ac的函数关系式为y=x+3.
由于q点是抛物线的对称轴与直线ac的交点，故解方程组得点q坐标为（-1，2）.
3)作a点关于x轴的对称点，连接，与轴交点即为所求的点。
设直线的函数关系式为y=kx+b.
解这个方程组，得直线的函数关系式为y=-2x.
令x=0，则y=0.点m的坐标为（0，0）.
评析求两个函数图象的交点问题，其实就是求两个函数关系式联立的方程组的解的问题。点与函数图象的关系是，若点的坐标满足函数关系式，则点在函数图象上，反之也成立。本题中的第（3）问改为“若在y轴上有一动点n，当nq+na取得最小值时，求n点的坐标”，请同学们做做看。
三、函数与几何“联姻”，由图形性质建立函数关系式。
例3 如图3，在锐角中，，于点，且，点为边上的任意一点，过点作，交于点．设的高为，以为折线将翻折，所得的与梯形重叠部分的面积记为（点关于的对称点落在所在的直线上）．
1）分别求出当与时，与的函数关系式；
2）当取何值时，的值最大？最大值是多少？
分析本题所求的“y与x之间的函数关系式”分两种情况：一是点a关于de的对称点在内，一是点a关于de的对称点在外。对于第一种情况，其重叠部分就是的面积（也即的面积），此时只要依据相似三角形的性质把高af，底边de用含x的关系式表示出来即可；而第二种情况，其重叠部分是一个梯形，求梯形edpq的面积即可。
最后，要求出重叠部分面积的最大值，同样也需要分两种情况，把每种情况下的最大面积都求出来，然后进行比较。
解 （1）①当时，由折叠得到的落在内部，如图4（1），重叠部分为。,.
即。又，.当时，由折叠得到的有一部分落在外部，如图4(2)，重叠部分为梯形。,
又， .
（2）当时，的最大值；
当时，由可知，当时，的最大值。，当时，有最大值．
评析二次函数与几何图形相结合的问题，其解题模式是，先根据几何图形本身的性质，表示出线段之间的关系，进而恰当设出变量，得出函数关系式，再根据题目要求得出最终的结论。 同时，在几何图形中求函数关系问题具有一定的实际意义，因此对函数关系式中自变量的取值范围必须认真考虑，一般有约束条件。
综上所述，二次函数综合题，是一类对同学们能力要求高，知识覆盖面广，解题难度大的问题，要求在解题过程中冷静分析，缜密思考，耐心梳理，正确把握解题策略才有可能顺利解决。下面给出两题，请同学们一试身手！
练习：一、选择题（每题4分，共36分）
1、抛物线y=3(x-1)+1的顶点坐标是（ ）
a．（1，1） b．（-1，1） c．（-1，-1） d．（1，-1）
2、二次函数的图像与x轴交点的横坐标是（ ）
a. -2和-3 b.-2和3 c. 2和3 d. 2和-3
3、抛物线的一部分如图1所示，该抛物线在轴右侧部分与轴交点的坐标是（ ）
a、（，0） b、（1，0） c、（2，0） d、（3，0）
4、（长沙市）把抛物线向上平移个单位，得到的抛物线是（ ）
a． b． c． d．
5、若抛物线与轴的交点为，则下列说法不正确的是（ ）
a．抛物线开口向上b．抛物线的对称轴是。
c．当时，的最大值为 d．抛物线与轴的交点为。
6、抛物线的部分图象如图2所示，若，则的取值范围是（ ）
a. b. c.或 d.或。
7、已知：抛物线y=-x2+4x-3与x轴相交于a，b两点(a点在b点的左侧)，顶点为p．
1)求a，b，p三点坐标；
(2) 在直角坐标系内画出此抛物线的简图，并根据简图写出当x取何值时，函数值y大于零；
3)确定此抛物线与直线y=-2x+6公共点的个数，并说明理由。
8、已知：m，n是方程的两个实数根，且，抛物线的图象经过点。
a(m，0)，b(0，n). 1)求这个抛物线的解析式；
2) 设（1）中抛物线与轴的另一交点为c，抛物线的顶点为d，试求出点c，d的坐标和△bcd的面积；
3）p是线段oc上的一点，过点p作ph⊥轴，与抛物线交于h点，若直线bc把△pch分成面积之比为2：3的两部分，请求出p点的坐标。
二次函数教案 第一课时
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