第7讲牛吃草问题。
内容概述】牛吃草问题在普通工程问题的基础上，工作总量随工作时间均匀的变化，这样就增加了难度。
牛吃草问题的关键是求出工作总量的变化率。
下面给出几例牛吃草及其相关问题。
典型问题】1】草场有一片均匀生长的草地，可供27头牛吃6周，或供23头牛吃9周，那么它可供21头牛吃几周？（这类问题由牛顿最先提出，所以又叫“牛顿问题”。）
分析与解】27头牛吃6周相当于27×6=162头牛吃1周时间，吃了原有的草加上6周新长的草；
23头牛吃9周相当于23×9=207头牛吃1周时间，吃了原有的草加上9周新长的草；于是，多出了207-162=45头牛，多吃了9-6=3周新长的草，所以45÷3=15头牛1周可以吃1周新长出的草，即相当于给出15头牛专门吃新长出的草，于是27-15=12头牛6周吃完原有的草，现在有21头牛，减去15头吃长出的草，于是21-15=6头牛来吃原来的草；所以需要12×6÷6=12（周），于是2l头牛需吃12周。
评注】我们求出单位“1”面积的草需要多少头年来吃，这样就把问题化归为一般工程问题了。
一般方法】先求出变化的草相当于多少头牛来吃：（甲牛头数×时间甲-乙牛头数×时间乙）÷（时间甲-时间乙）；
再进行如下运算：（甲牛头数-变化草相当头数）×时问甲÷（丙牛头数-变化草相当头数）=时间丙。
或者：（甲牛头数-变化草相当头数）×时间甲÷时间丙+变化草相当头数丙所需的头数。
2】有三块草地，面积分别是4公顷、8公顷和10公顷，草地上的草一样厚而且长得一样快。第一块草地可供24头牛吃6周，第二块草地可供36头牛吃12周。问：
第三块草地可供50头牛吃几周？
分析与解】我们知道24×6=144头牛吃一周吃2个（2公顷+2公顷周长的草），36×12=432头牛吃一周吃4个（2公顷+2公顷12周长的草），于是144÷2=72头牛吃一周吃2公顷+2公顷6周长的草，432÷4=108头牛吃一周吃2公顷+2公顷12周长的草，所以108-72=36头牛一周吃2公顷12-6=6周长的草，即36÷6=6头牛1周吃2公顷1周长的草。
对每2公顷配6头牛专吃新长的草，则正好，于是4公顷，配4÷2×6=12头牛专吃新长的草，即24-12=12头牛吃6周吃完4公顷，所以1头牛吃6×1÷（4÷2）=36周吃完2公顷。
所以10公顷，需要10÷2×6=30头牛专吃新长的草，剩下50-30=20头牛来吃10公顷草，要36×（10÷2）÷20=9周，于是50头牛需要9周吃10公顷的草。
3】如图，一块正方形的草地被分成完全相等的四块和中间的阴影部分，已知草在各处都是同样速度均匀生长。牧民带着一群牛先在①号草地上吃草，两天之后把①号草地的草吃光。（在这2天内其他草地的草正常生长）之后他让一半牛在②号草地吃草，一半牛在③号草地吃草，6天后又将两个草地的草吃光。
然后牧民把的牛放在阴影部分的草地中吃草，另外号的牛放在④号草地吃草，结果发现它们同时把草场上的草吃完。那么如果一开始就让这群牛在整块草地上吃草，吃完这些草需要多少时间？
分析与解】一群牛，2天吃了1块+1块2天新长的；一群牛，6天吃了2块+2块2+6=8天新长的；即3天，吃了1块+1块8天新长的，即群牛，1天，吃了1块1天新长的。
又因为，的牛放在阴影部分的草地中吃草，另外的牛放在④号草地吃草，它们同时吃完。所以，③=2阴影部分面积。于是，整个为4+=块地，那么需要×=群牛吃新长的草，于是（1-）×2×=现在×（1-），所以需要吃：
（1-）×2×÷（1-）=30天。
所以，一开始将一群牛放到整个草地，则需吃30天。
4】现在有牛、羊、马吃一块草地的草，牛、马吃需要45天吃完，马、羊吃需要60天吃完，牛、羊吃需要90天吃完；牛、羊一起吃草的速度为马吃草的速度。求马、牛、羊一起吃，需多少时间？
分析与解】我们注意到：牛、马45天吃了原有+45天新长的草①→牛、马90天吃了2原有+90天新长的草⑤
马、羊60天吃了原有+60天新长的草②
牛、羊90天吃了原有+90天新长的草③
马90天吃了原有+90天新长的草④
所以，由④、⑤知，牛吃了90天，吃了原有的草；再结合③知，羊吃了90天，吃了90天新长的草，所以，可以将羊视为专门吃新长的草。
所以，②知马60天吃完原有的草，③知牛90天吃完原有的草。
现在将牛、马、羊放在一起吃；还是让羊吃新长的草，牛、马一起吃原有的草。
所需时间为l÷（+36天。所以，牛、羊、马一起吃，需36天。
5】有三片牧场，场上草长得一样密，而且长得一样快，它们的面积分别是公顷、10公顷和24公顷。已知12头牛4星期吃完第一片牧场的草，21头牛9星期吃完第二片牧场的草，那么多少头牛18星期才能吃完第三片牧场的草？
分析与解】由于三片牧场的公顷数不一致，给计算带来困难，如果将其均转化为1公顷时的情形。表1表2
所以表1中，3.6-0.9=2.
7头牛吃4星期吃完l公顷原有的草，那么18星期吃完1公顷原有的草需要2.7÷（18÷4）=0.6头牛，加上专门吃新长草的o.
9头牛，共需0.6+0.9=1.
5头牛，18星期才能吃完1公顷牧场的草。
所以需1.5×24=36头牛18星期才能吃完第三片牧场的草。
第8讲不定方程与整数分拆。
内容概述】求二元一次方程与多元一次方程组的自然数解的方法，与此相关或涉及整数分拆的数论问题。
补充说明：对于不定方程的解法，本讲主要利用同余的性质来求解，对于同余性质读者可参考《思维导引详解》五年级《第15讲余数问题》。
解不定方程的4个步骤：①判断是否有解；②化简方程；③求特解；④求通解。
本讲讲解顺序：③包括题④②①包括题③包括题，其中③④步骤中加入百鸡问题。
复杂不定方程：⑧、依次为三元不定方程、较复杂不定方程、复杂不定方程。
整数分拆问题。
1】在两位数中，能被其各位数字之和整除，而且除得的商恰好是4的数有多少个？
分析与解】设这个两位数为，则数字和为a+b，这个数可以表达为10a+b，有（10a+b）÷（a+b）=4。
即10a+b=4a+4b，亦即b=2a。
注意到a和b都是0到9的整数，且a不能为0，因此a只能为或4，相应地b的取值为。
综上分析，满足题目条件的两位数共有4个，它们是和48。
2】设a和b都是自然数，并且满足+=，那么a+b等于多少？
分析与解】将等式两边通分，有3a+11b=17，显然有b=l，a=2时满足，此时a+b=2+1=3。
3】甲级铅笔7分钱一支，乙级铅笔3分钱一支。张明用5角钱恰好可以买这两种不同的铅笔共多少支？
分析与解】设购买甲级铅笔x支，乙级铅笔y支。
有7x+3y=50，这个不定方程的解法有多种，在这里我们推荐下面这种利用余数的性质来求解的方法：
将系数与常数对3取模（系数7，3中，3最小）：
得x=2（mod3），所以x可以取2，此时y取12；x还可以取2+3=5，此时y取5；
即、，对应x+y为
所以张明用5角钱恰好可以买这两种不同的铅笔共14支或10支。
4】有纸币60张，其中1分、l角、1元和10元各有若干张。问这些纸币的总面值是否能够恰好是100元？
分析与解】设1分、1角、1元和10元纸币分别有a张、b张、c张和d张，列方程如下：，由①②得9b+99c+999d=9940③
注意到③式左边是9的倍数，而右边不是9的倍数，因此无整数解，即这些纸币的总面值不能恰好为100元。
5】将一根长为374厘米的合金铝管截成若干根36厘米和24厘米两种型号的短管，加工损耗忽略不计。问：剩余部分的管子最少是多少厘米？
分析与解】24厘米与36厘米都是12的倍数，所以截成若干根这两种型号的短管，截去的总长度必是12的倍数，但374被12除余2，所以截完以后必有剩余，剩余管料长不小于2厘米。
另一方面，374=27×12+4×12+2，而36÷12=3，24÷12=2，有3×9+2×2=31，即可截成9根36厘米的短管与2根24厘米的短管，剩余2厘米。因此剩余部分的管子最少是2厘米。
6】某单位的职工到郊外植树，其中有男职工，也有女职工，并且有寺的职工各带一个孩子参加。男职工每人种13棵树，女职工每人种10棵树，每个孩子种6棵树，他们一共种了216棵树。那么其中有多少名男职工？
分析与解】设男职工x人，孩子y人，则女职工3y-x人（注意，为何设孩子数为y人，而不是设女职工为y人），那么有13x+10（3y-x）+6y=216，化简为3x+36y=216，即x+12y=72。
有、、、但是，女职工人数为3y-x必须是自然数，所以只有时，3y-x=3满足。那么男职工数只能为12名。
7】一居民要装修房屋，买来长0.7米和o.8米的两种木条各若干根。
如果从这些木条中取出一些接起来，可以得到许多种长度的木条，例如：o.7+o.
7=1.4米，0.7+0.
8=1.5米。那么在3.
6米、3.8米、3.4米、3.
9米、3.7米这5种长度中，哪种是不可能通过这些木条的恰当拼接而实现的？
分析与解】设0.7米，0.8米两种木条分别x，y根，则0.7x+0.8y=3.4，3.6，…
即7x+8y=34，36，37，38，39。
将系数，常数对7取模，有y≡6，l，2，3，4（mod7），于是y最小分别取6，1，2，3，4。
但是当y取6时，8×6=48超过34，x无法取值。所以3.4米是不可能通过这些木条的恰当拼接而实现的。
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