量子力学试题（a）解答。
1． 简答题：（20分）
1）隧道效应。
答：粒子能量小于势垒高度时，仍能贯穿势垒的现象。（4分）
（2）定态。
答：体系能量具有确定值的状态，称为定态（4分）
（3）量子数为j1和j2的两个角动量耦合后的取值范围。
答：j = j1+j2, j1+j2-1, j1+j2-2j1 - j2|. 4分）
4）偶极跃迁选择定则。
答：(1), 4分）
5）费米子。
答：凡自旋为半奇数倍（s =1/2，3/2，……的粒子，其多粒子波函数对于交换 2 个粒子总是反对称的，遵从fermi 统计，故称为fermi 子。（4分）
2． 转动惯量为i的一刚性转子绕一固定轴转动，它的能量的经典表示式是，l为角动量，求该量子体系的定态能量及波函数。（15分）
解：设该固定轴沿z轴方向，则有。
哈米顿算符3分）
其本征方程为 (无关，属定态问题)
令 ，则3分）
取其解为可正可负可为零)
由波函数的单值性，应有。
3分）即m= 0，±1，±2，…
转子的定态能量为m= 0，±1，±2，…)3分）
可见能量只能取一系列分立值，构成分立谱。
定态波函数为。
a为归一化常数，由归一化条件
∴ 转子的归一化波函数为。
综上所述，除m=0外，能级是二重简并的3分）
3. 设氢原子的电子波函数为（15分）
求氢原子能量、角动量二次方及角动量z分量和自旋z分量的可能值，这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值。 [6分]
解：由波函数可得。
(1)能量 w=14分。
2）角动量二次方。
w=1 4分。
3）角动量z分量。
w=1/4 ; w=3/4 3分。
4）自旋z分量。
w=1/4 ; w=3/44分。
4．在l=1的表象中，基矢为，，。已知求的矩阵表示和它的本征值及本征函数。（22分）
解： （3分）
5分）2）的久期方程为 （2分）
∴的本征值为3分）
的本征方程
其中设为的本征函数共同表象中的矩阵。
当时，有 由归一化条件。
取。对应于的本征值03分）
当时，有。由归一化条件。
取 ∴归一化的对应于的本征值3分）
当时，有。由归一化条件。
取 ∴归一化的对应于的本征值3分）
5．有一粒子，其 hamilton 量的矩阵形式为：h = h0 + h’， 其中。
用微扰理论求能级的一级近似。（10分）
解：h0 的本征值问题是三重简并的，这是一个简并微扰问题。
由久期方程|h’ -e(1) i| =0 得：
（5分）得：e(1)[(e(1))2 - 2 ] 0 解得：e(1) =0, ±
故能级一级近似：
（5分） 6．慢速粒子受到势能为。
场的散射，若e 0，求散射截面。（10分）
解：慢速粒子能量很小只需讨论s分波，径向方程。
令l=0 可得。
r≤ar>a （4分）
r=a 处有
两式相除得3分）
总散射截面为
3分） 7． 当体系 hamilton 量不含二电子自旋相互作用项时，求具有一定对称性的二电子自旋波函数。（8分）
解： 可构成4种相互独立二电子自旋波函数：
2分。由此又可构成以下具有一定对称性的二电子自旋波函数：6分。
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