2024年全国高中数学联赛广东省预赛参***。
考试时间：2024年9月3日上午10∶00—11∶20）
一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．把答案填在横线上．
1. 设数列满足，则 .
2. 不等式对一切成立，则实数a的取值范围为 .
3. 已知定义在正整数集上的函数满足以下条件：
1)，其中为正整数；
则 .4. 方程一共有个解。
5. 设半径为10厘米的球中有一个棱长为整数（厘米）的正方体， 则该正方体的棱长最大等于 .
6. 一个玻璃杯的内壁是由抛物线绕y轴旋转而构成的。请问能接触到杯底的球的半径最大是 .
7. 计算：.
8. 10名学生站成一排，要给每名学生发一顶红色、黄色或者蓝色的帽子，要求每种颜色的帽子都要有，且相邻的两名学生帽子的颜色不同。 则满足要求的发帽子的方法共有种。
二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
9．（本小题满分16分）若是大于2的正整数，求的最小值。
10．（本小题满分20分）在一条线段上随机独立地取两点，然后从这两点处把线段分成三段。请问得到的三条新线段能构成三角形的概率是多少？
11．（本小题满分20分）数列满足，当时有。 证明：对所有整数，有。
答案。1、答案：8041.
由题意，，，且，.，2、答案：或。
由题意，，即对成立。令。解得。
3、答案：2023066.
在(1)中，令得，.
令得。令，并利用(2)得，.
由③②得，.
代入①得，
4、答案：4.
方程的所有解为；
方程的所有解为；
方程的所有解为；
方程的所有解为；
方程的所有解为；
一般地，方程的所有解为。
5、答案：11厘米。
设正方体的棱长为，因为正方体的对角线长不大于球的直径，所以，，即，，即。
6、答案：.
过抛物线顶点与球心作截面，设球的半径为，由。
由题意，方程没有非零实数解。
7、答案：.
原式。8、答案：1530.
推广到一般情形，设个学生按题设方式排列的方法数为，则，，.从而，.
9、解：当时，
假设时， 则当时，因此，所求最小值为。
10、解：令a, b和c 为一个三角形的三边，则a+b>c, b+c>a和c+a>b.不妨设开始时的线段为区间[0, 1]，并且随机选取的两点为x和y ，其中0如下图所示，“成功”的区域是由不等式，和围成的三角形，面积为，而整个区域的面积为（因为y>x）.
答：得到的三条新线段能构成三角形的概率是。
11、证法1：
证明：由已知得，在上式中以代替得到，两式相减得，此式对所有整数均成立。
设，则。由于，故应在与之间。 由于，故。 因此当时，均有，故，证毕。
证法2：证明：用归纳法证明加强命题：an ≥ n ≥ 3．
1 当n = 3, 4时，a3 = 1 ≥,a4 =≥
结论成立．2 假设当n－1时结论成立，当n + 1时，an + 1 = a0 + a1 + an－1
= 1 + a3 + a4 + an－1
所以结论对n + 1时亦成立．
由归纳法原理及1, 2 可知 an ≥ n ≥ 3 成立．
因此an ≥ n ≥ 3 成立．
从而本题得证．
2024年广东省全国初中数学竞赛预赛试卷
2001年全国初中数学竞赛。第一试试卷。一 填空题 每小题3分，共60分 1 分解因式。2 在公式中，若已知，则。3 计算。4 两圆半径之比为3 5，当两圆内切时，圆心距为4cm 则两圆外切时，圆心距为。5 函数中自变量的取值范围是。6 已知样本 1，2，3，3，6 则样本的方差。7 边长为2cm的...
广东省2024年电工安全试题
一 单项选择题 共25题，每题2分，每题的备选项中，只有1个事最符合题意 1 正弦交流电i 10sin t的瞬时值不可能等于 a。a 10b 0c 1d 15 2 并联运行的变压器其短路电压比值不得超过 a 2 b 10 c 15 d 0.5 3 电 磁及 干扰是电子测量装置中最严重的干扰。a 压力...
广东省高级木工试题
本卷共分为1大题50小题，作答时间为180分钟，总分100分，60分及格。一 单项选择题 共25题，每题2分，每题的备选项中，只有1个事最符合题意 1 已知a点的标高为3.256m，水准测量中，a b两点的水准尺读数为1153mm与953mm，则b点的标高为 a 3.256mb 3.456mc 3....