２０１年第２期中学数学月刊４９
沈良 （浙江省杭州市萧山区第五高级中学 ３１
不等式恒成立问题历来是高考的热点和重。
点，以变量与参数共存的不等式为背景考查学生思维的灵活性、深刻性与辩证性，能较好地考查学生的知识技能、思想方法与能力素质等，因此在每。
年的高考中这方面的试题精彩纷呈．但笔者隐约有些担心，担心教学中对此类问题的过度模式化，即往往引导学生利用分离参数法来解决问题；担心考题中引入多个参数，从而将此类问题引向另。
一。个过分注重技巧与难度的方向．可见，对命题者。
而言，出好不等式恒成立试题显得尤为重要，它对。
教学有着重要的导向作用．
在翻看２０１年各省市高考卷中，笔者觉得新课标全国卷第２１题是有关不等式恒成立、含参问。
题的一道好题，无论是从解法的多样性、蕴涵的几。
何背景及渗透的思想方法来看都值得我们一线老师学习和借鉴．该题阐述了从一个不等式恒成立问题下双参数的最值问题，解决本题需要学生有。
一。定的观察能力、推理论证能力，很好体现了高考。
试题能力立意的特点．
题意分析。
题目已知函数ｆ（ｘ满足ｆ（ｘ一。
（１一一厂（０）求ｆ（ｘ的解析式及单调区间；（２若。
（ｘ）寺ｚ ＋衄＋ｂ，厶。
求（口＋１）的最大值．
分析 （１一ｅ 一ｚ＋÷过程略；
厶。２）问中由（１）且设ａ＋１一ｃ，代入化简后问题转化为：在满足“ｅ一ｃｘ≥对ｚ∈ｒ恒成立”的条件下，求ｃ６的最大值．可见这是一个不等式。
恒成立与参数最值相结合的问题，其中导数在解决过程中成为一个重要的工具；这又是一个双参数问题，无论是条件还是问题中都在处理参数ｃ，ｂ的关系；当然，这也可以认为是一个满足一定条件的二元函数最值问题：即在满足不等式约束下寻。
求二元函数“ｃ６的最大值．
解法**。
解法１分离参数法。
因为ｅ 一啊≥ｂ对ｚ∈ｒ恒成立，所以ｂ≤（一时）ｉ．记ｇ（ｘ一ｅ 一，则ｇ （一ｅ 一ｃ．分ｃ＜０一０和ｃ＞０研究ｇ（ｘ的最小值，易知当ｃ＞０时ｇ（ｘ存在最小值．令ｇ （一０得ｇ（ｘ一ｇ（１一故设 （ｆ一（１一ｉｎ 求导后易得 （ｃ
一ｔ（ｅ一 ．即ｃ—ｅ时，ｂ一 ｅｉ一导．厶。厶。
厶。评析尽管这是一个双参数问题，但巧妙的。
是分离参数法依然有效．从解题过程来看它没有。
生搬硬套，显得极为自然，通过层层深入的方式，将双参数最值转化为单元函数最值问题，即由“ｂ
得到“ｃ６一ｌｎｃ这种解法给学生以一种温暖与亲切的感觉，原来所学是有所用，而且这种用不是生硬的，它是理解基础上。
的灵活多变．亲切的背后离不开命题者的巧妙构思，即ｂ是相对独立的，若ｂ与纠缠在一起，那本题难度还将加大．所以，本题虽是个含双参数的恒成立问题，但这样的设计，还是为学生降低了很多难度，值得肯定．
解法２ 数形结合法。
不等式等价于ｅ
凹＋６对 ∈ｒ恒。
成立．由图１知，若ｃ
一。０，由ｙ＝＝和 １一。
ｘ＋ｂ的图象知不等式不可能恒成立，故ｃ
图１０．再结合ｙ２与ｙ。
的图象可知，当 。与ｙ—ｅ图象相切时，ｃ６在。
。（切点横坐标为 。）处有最大值．因为 ＝＝与ｙ。一ｃｘ＋在切点处的斜率相等，所以ｅ ｏ则由．
ｅ ｏ一衄一ｚ０）得。
０ 中学数学月刊２０１年第２期。
ｅ２ｘ记ｈ（）一（１一求导后易，当直线ｙ一甜＋ｂ与曲线ｙ—ｅ相切时将会有。
知ｚ一寺时，（ｚ寺）一号，即（ｃｂ一。
最大值，整体而言思路清晰、目标明确、过程简练、厶。
评析不等式问题往往可用相应函数图象观察其解，本题中通过几何直观容易判断ｃ的范。
围．同时仅当直线与曲线相切时，ｃ，分别达到最大值，故ｃ６有最大值．可见，数形结合法给学生一。
种美的启迪：简洁之美（通过几何图形直观明了）、动态之美（ｃ变化时切点随之而动）、方法之美（简。
练又不失庄重与大气）．３解法辨析。
如何评价一种方法的优劣，笔者觉得不妨从方法感知性、普适性和可行性三个维度来进行**．
１）感知性。
所谓感知性，指的是学生在解决某一问题过程中对某一解法可能会有的一种感知力与直觉判断力．从两种解法的感知性看，解法１是学生最易感知的，对不等式恒成立的处理问题通常就是函。
数最值法和分离变量法，在解法１中都能得到体现；解法２对学生则是易求不易想，用几何直观研究代数蕴涵的本质，并回归到用代数的方法进行几何研究，这为我们研究数学提供了一条简洁的。
途径．２）普适性。
所谓普适性，指的是问题解决方法的一般性。
意义，也就是解决方法是否具有某种高度能帮助我们解决一类问题．以上的两种解法都具有一般性，即在面对“不等式恒成立问题”时，函数最值法、分离变量法以及数形结合法正是我们通常所。
说的“通解通法”．
３）可行性。
所谓可行性，指的是在问题解决过程中，解法对解题者而言的计算操作的难度性，即在感知力基础上的一种执行力．解法１虽易联想，但最终能成功的学生并不多，其困难在于研究函数ｇ（）单调性时需要对参数ｃ分类讨论，这成为学生的处理障碍；解法２无论从可行性、完备性和简洁性来看都是最佳的，通过几何观察得到：①当ｃ＜０
时，ｅ 对－ｚ∈不可能恒成立；②对ｃ≥
结果易得．４ 策略思想。
本例作为一道不等式恒成立及双参数问题，有许多的策略、思想、方法值得我们借鉴学习．
１）转化与化归思想。
二元函数（参数）求最值的一种重要策略是“化归”，在复杂的条件下寻找到主元，如果有可能那么二元即可转化为一元．本题的两种解法都显示出了此种策略思想．如解法２中，将ｃ，ｂ都转化成了关于－ｚ。的函数，从而使问题有效转化，容易解决．所以，在此转化与化归更是体现了对多变量、多参数的一种宏观与微观的运作处理，宏观上是一种大体的思路与方向，微观上则是对条件问。
题的一种精加工．
２）换元思想。
换元可以帮助我们化繁为简，有时候起到“柳暗花明”的效果．在本例中设ａ＋１一ｃ就起到简化作用．
３）数形结合思想。
数形结合不仅是一种数学方法，更是一种数学思想．数转形，通过形的研究寻找代数蕴涵的几何意义，如本例解法２中通过形研究恒成立问题。
和最值问题．形转数，通过数的研究又能对几何做定性与定量的研究分析，如解法２中最后又回归。
到求导来解决相切问题．
一。道好的高考试题，应“以问题为载体，以知。
识为基础，以思维为主线，以能力为目标，全面考。
查学生的学习潜能，促进学生的可持续发展”．一方面，数学问题应更加关注数学本质，这种数学本质会给人天然之美．本题中的含双参数不等式恒成立问题与双参数最值的求解，条件与问题的设置质朴明了，没有做作之感．另一方面，数学考查。
归根结底是对学生思维能力的考查，这种考查应撇开过分注重技巧和模式化的内容．本题中“分离。
参数法”虽似乎有模式化操练之嫌疑，但其条件中的双参数问题还是有别于单参数问题，需要学生“跳一跳才能够得着”，而其他的解法与思考更能体现学生的思维力．
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