江西省2023年中等学校招生考试。
数学试题（含答案全解全析）
第ⅰ卷(选择题，共18分)
一、选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分。每小题只有一个正确选项)
1.-6的相反数是( )
a. b.- c.6 d.-6
2.在国家“一带一路”战略下，我国与欧洲开通了互利互惠的中欧班列。行程最长，途经城市和国家最多的一趟专列全程长13 000 km,将13 000用科学记数法表示应为( )
a.0.13×105 b.1.3×104 c.1.3×105 d.13×103
3.下列图形中，是轴对称图形的是( )
4.下列运算正确的是( )
a.(-a5)2=a10 b.2a·3a2=6a2 c.-2a+a=-3a d.-6a6÷2a2=-3a3
5.已知一元二次方程2x2-5x+1=0的两个根为x1,x2,下列结论正确的是( )
b. x1·x2=1 都是有理数 都是正数。
6.如图，任意四边形abcd中，e,f,g,h分别是ab,bc,cd,da上的点，对于四边形efgh的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中的是( )
a.当e,f,g,h是各边中点，且ac=bd时，四边形efgh为菱形。
b.当e,f,g,h是各边中点，且ac⊥bd时，四边形efgh为矩形。
c.当e,f,g,h不是各边中点时，四边形efgh可以为平行四边形。
d.当e,f,g,h不是各边中点时，四边形efgh不可能为菱形。
第ⅱ卷(非选择题，共102分)
二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)
7.函数y=中，自变量x的取值范围是 .
8.如图1是一把园林剪刀，把它抽象为图2,其中oa=ob,若剪刀张开的角为30°,则∠a= 度。
9.中国人最先使用负数。魏晋时期的数学家刘徽在“正负术”的注文中指出，可将算筹(小棍形状的记数工具)正放表示正数，斜放表示负数。
如图，根据刘徽的这种表示法，观察图①,可推算图②中所得的数值为 .
10.如图，正三棱柱的底面周长为9,截去一个底面周长为3的正三棱柱，所得几何体的俯视图的周长是 .
11.已知一组从小到大排列的数据：2,5,x,y,2x,11的平均数与中位数都是7,则这组数据的众数是 .
12.已知点a(0,4),b(7,0),c(7,4),连接ac,bc得到矩形aobc,点d在边ac上，将边oa沿od折叠，点a的对应点为a',若点a'到矩形两对边的距离之比为1∶3,则点a'的坐标为。
三、(本大题共5小题，每小题6分，共30分)
13.(本题共2小题，每小题3分)
1)计算：÷;
2)如图，正方形abcd中，点e,f,g分别在ab,bc,cd上，且∠efg=90°.求证：△ebf∽△fcg.
14.解不等式组：并把解集在数轴上表示出来。
15.端午节那天，小贤回家看到桌上有一盘粽子，其中有豆沙粽、肉粽各1个，蜜枣粽2个，这些粽子除馅外无其他差别。
1)小贤随机地从盘中取出一个粽子，取出的是肉粽的概率是多少？
2)小贤随机地从盘中取出两个粽子，试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果，并求出小贤取出的两个都是蜜枣粽的概率。
16.如图，已知正七边形abcdefg,请，分别按下列要求画图。
1)在图1中，画出一个以ab为边的平行四边形；
(2)在图2中，画出一个以af为边的菱形。
17.如图1,研究发现，科学使用电脑时，望向荧光屏幕画面的“视线角”α约为20°,而当手指接触键盘时，肘部形成的“手肘角”β约为100°.图2是其侧面简化示意图，其中视线ab水平，且与屏幕bc垂直。
1)若屏幕上下宽bc=20 cm,科学使用电脑时，求眼睛与屏幕的最短距离ab的长；
2)若肩膀到水平地面的距离dg=100 cm,上臂de=30 cm,下臂ef水平放置在键盘上，其到地面的距离fh=72 cm.请判断此时β是否符合科学要求的100°.
参考数据：sin 69°≈,cos 21°≈,tan 20°≈,tan 43°≈,所有结果精确到个位。
四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)
18.为了解某市市民“绿色出行”方式的情况，某校数学兴趣小组以问卷调查的形式，随机调查了某市部分出行市民的主要出行方式(参与问卷调查的市民都只从以下五个种类中选择一类),并将调查结果绘制成如下不完整的统计图。
根据以上信息，回答下列问题：
1)参与本次问卷调查的市民共有人，其中选择b类的人数有人；
2)在扇形统计图中，求a类对应扇形圆心角α的度数，并补全条形统计图；
3)该市约有12万人出行，若将a,b,c这三类出行方式均视为“绿色出行”方式，请估计该市“绿色出行”方式的人数。
19.如图是一种斜挎包，其挎带由双层部分、单层部分和调节扣构成。小敏用后发现，通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使(单层部分与双层部分的长度的和，其中调节扣所占的长度忽略不计)加长或缩短。
设单层部分的长度为x cm,双层部分的长度为y cm,经测量，得到如下数据：
1)根据表中数据的规律，完成以上**，并直接写出y关于x的函数解析式；
2)根据小敏的身高和习惯，挎带的长度为120 cm时，背起来正合适，请求出此时单层部分的长度；
3)设挎带的长度为l cm,求l的取值范围。
20.如图，射线y=k1x(x≥0)与双曲线y=(x>0)相交于点p(2,4).已知点a(4,0),b(0,3),连接ab,将rt△aob沿op方向平移，使点o移动到点p,得到△a'pb'.
过点a'作a'c∥y轴交双曲线于点c.
1)求k1与k2的值；
2)求直线pc的表达式；
3)直接写出线段ab扫过的面积。
五、(本大题共2小题，每小题9分，共18分)
21.如图1,☉o的直径ab=12,p是弦bc上一动点(与点b,c不重合),∠abc=30°,过点p作pd⊥op交☉o于点d.
1)如图2,当pd∥ab时，求pd的长；
2)如图3,当=时，延长ab至点e,使be=ab,连接de.
求证：de是☉o的切线；
求pc的长。
22.已知抛物线c1:y=ax2-4ax-5(a>0).
1)当a=1时，求抛物线与x轴的交点坐标及对称轴；
2)①试说明无论a为何值，抛物线c1一定经过两个定点，并求出这两个定点的坐标；
将抛物线c1沿这两个定点所在直线翻折，得到抛物线c2,直接写出c2的表达式；
3)若(2)中抛物线c2的顶点到x轴的距离为2,求a的值。
备用图。六、(本大题共12分)
23.我们定义：如图1,在△abc中，把ab绕点a顺时针旋转α(0°<α180°)得到ab',把ac绕点a逆时针旋转β得到ac',连接b'c'.
当α+β180°时，我们称△ab'c'是△abc的“旋补三角形”,△ab'c'边b'c'上的中线ad叫做△abc的“旋补中线”,点a叫做“旋补中心”.
特例感知。1)在图2,图3中，△ab'c'是△abc的“旋补三角形”,ad是△abc的“旋补中线”.
如图2,当△abc为等边三角形时，ad与bc的数量关系为ad= bc;
如图3,当∠bac=90°,bc=8时，则ad长为 .
猜想论证。2)在图1中，当△abc为任意三角形时，猜想ad与bc的数量关系，并给予证明。
拓展应用。3)如图4,在四边形abcd中，∠c=90°,∠d=150°,bc=12,cd=2,da=6.在四边形内部是否存在点p,使△pdc是△pab的“旋补三角形”?
若存在，给予证明，并求△pab的“旋补中线”长；若不存在，说明理由。
图4答案全解全析：
一、选择题。
求一个数的相反数，即在这个数的前面加负号，所以-6的相反数是6,故选c.
将13 000用科学记数法表示为1.3×104.故选b.
根据轴对称图形的概念可得选项a、b、d都不是轴对称图形，只有选项c是轴对称图形，故选c.
2a·3a2=6a3,故b错误；-2a+a=-a,故c错误；-6a6÷2a2=-3a4,故d错误。故选a.
根据一元二次方程根与系数的关系可得x1+x2=>0,x1x2=>0,则x1>0,x2>0,故选d.
连接ac,bd.当e,f,g,h是各边中点时，由三角形中位线定理可得ef∥ac且ef=ac,gh∥ac且gh=ac,所以ef∥gh且ef=gh,所以四边形efgh为平行四边形。当ac=bd时，因为ef=ac,eh=bd,所以ef=eh,所以四边形efgh为菱形，选项a正确；当ac⊥bd时，因为ef∥ac,eh∥bd,所以ef⊥eh,所以四边形efgh为矩形，选项b正确；当e,f,g,h不是各边中点时，若=,=则gh∥ac,ef∥ac,所以gh∥ef.
因为===所以ef=gh,所以四边形efgh为平行四边形，选项c正确；例如，当e,f,g,h不是各边中点，且===bd=2ac时，由上述可知四边形efgh为平行四边形，所以==,即=,所以=,即ef=eh,所以四边形efgh为菱形，选项d错误。综上，选d.
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