高一数学第一学期授课讲义。
一) 集合的含义与表示（2课时）
ⅰ）、基本概念及知识体系：
1、了解集合的含义、领会集合中元素与集合的∈、关系；元素：用小写的字母a,b,c,…表示；元素之间用逗号隔开。集合：用大写字母a，b，c，…表示；
2、能准确把握集合语言的描述与意义：列举法和描述法：注意以下表示的集合之区别：
｛y=x2+1｝；｛x2-x-2=0｝，｛x| x2-x-2=0｝,｛x|y=x2+1｝；｛t|y=t2+1｝；｛y|y=x2+1｝；｛x,y)|y=x2+1｝； 0｝
3、特殊的集合：n、z、q、r；n*、；
ⅱ）、典例剖析与课堂讲授过程：
一、集合的概念以及元素与集合的关系：
1、 元素：用小写的字母a,b,c,…表示；元素之间用逗号隔开。
集合：用大写字母a，b，c，…表示；元素与集合的关系：∈、
、特殊的集合：n、z、q、r；n*、；
、集合中的元素具有确定性、互异性、无序性：
【例题1】、已知集合a=｛a-2,2a2+5a,10｝,又-3∈a，求出a之值。
解析：分类讨论思想；a=-1(舍去），a=
★课堂练习：
1、书本p5：练习题1；p11：习题1.1：题：①
2、已知集合a=｛1，0，x｝,又x2∈a，求出x之值。(解：x=-1)
3、已知集合a=｛a+2,（a+1）2，a2+3a+3｝,又1∈a，求出a之值。（解：a=0)
二、集合的表示---列举法和描述法。
【例题2】、书本p3：例题1、p4：例题2
【例题3】、已知下列集合：（1）、=n | n = 2k+1,kn,k5｝；（2）、=x | x = 2k, kn, k3｝；（3）、=x | x = 4k＋1,或x = 4k－1,kk3｝；
问：（ⅰ用列举法表示上述各集合；（ⅱ对集合，，，如果使kz,那么，，所表示的集合分别是什么？并说明与的关系。
解：(ⅰn | n = 2k+1,kn ,k5｝＝｛1，3，5，7，9，11｝；
、=｛x | x = 2k, kn, k3｝＝｛0，2，4，6｝；
、=｛x | x = 4k1,kk3｝＝｛1，1，3，5，7，9，11，13｝；
ⅱ）、对集合，，，如果使kz,那么、所表示的集合都是奇数集；所表示的集合都是偶数集。
点评：（1）通过对上述集合的识别，进一步巩固对描述法中代表元素及其性质的表述的理解；
2）掌握奇数集．偶数集的描述法表示和集合的图示法表示。
【例题4】、已知某数集a满足条件：若，则。
①、若2，则在a中还有两个元素是什么；②、若a为单元素集，求出a和之值。
解：①和； ②此时）或（此时）。
●课堂练习：
1、书本p5：练习题2；p12：题
2、设集合m=｛x|x= 4m+2,m∈z｝,n=｛y|y= 4n+3,n∈z｝，若x0∈m,y0∈n，则x0·y0与集合m、n的关系是（ a）：a、x0·y0∈m b、x0·y0m c、x0·y0∈n d、无法确定。
解：x0·y0= 4(4mn+3m+2n+1)+2,则x0·y0∈m
三、今日作业：
1、已知集合b=｛x|ax2-3x+2=0,a∈r｝,若b中的元素至多只有一个，求出a的取值范围。（解：a=0或a≥9/8)
2、已知集合m=｛x∈n|∈z｝，求出集合m。（解：m=｛0，1，2，5｝
3、已知集合n=｛∈z | x∈n｝，求出集合n。（解：n=｛1，2，3，6｝
四、提高练习：
【题1】、(2023年·辽宁·t5·5分）设⊕是r上的一个运算，a是r上的非空子集，若对任意的a、b∈a，有a⊕b∈a，则称a对运算⊕封闭，下列数集对加法、减法、乘法和除法（除数不等于0）四则运算都封闭的是（ c ）
a 自然数集 b 整数集 c 有理数集 d 无理数集
【题2】（2023年·山东·t1·5分）定义集合运算：a⊙b=｛z︳z= xy(x+y)，z∈a，y∈b｝，设集合a=｛0，1｝，b=｛2，3｝，则集合a⊙b的所有元素之和为（ d ）
a）0 （b）6c）12d）18
【题3】（2023年·湖北·t1·5分）设p、q为两个非空实数集合，定义集合p+q=，则p+q中元素的个数是（ b ）
a．9b．8c．7d．6
【题4】（广东2023年理科·8题）设是至少含有两个元素的集合，在上定义了一个二元运算“*”即对任意的，对于有序元素对（），在中有唯一确定的元素与之对应）．若对任意的，有，则对任意的，下列等式中不恒成立的是（ a ）
a． b．cd．
（ⅲ）课堂回顾与小结：
1、 记准n、z、q、r；
2、 分清列举法和描述法，注意集合中的元素是否满足互异。◆
讲义二： 集合之间的基本关系（2课时。
撰稿： 方锦昌电子邮箱 fangjingchang2 手机号码 139***
ⅰ）、基本概念及知识体系：
1、集合之间的基本关系：包含关系---子集、真子集、空集；集合的相等。
2、注意韦恩图、利用数轴的数形结合思想以及分类讨论的数学思想的培养与应用。
ⅱ）、典例剖析与课堂讲授过程：
一）、集合之间的基本关系：子集、真子集、空集（如方程x2+1=0的根）；集合的相等。
二）、含有n个元素的集合a的子集个数是___2n,,真子集个数是___2n-1,非空真子集：2n-2
【例题1】、已知集合p=｛x|x2-5x+4≤0｝,q=｛x|x2-(b+2)x+2b≤0｝且有pq，求实数b的取值范围。
解：；注意利用数轴去加以判断。
【例题2】、（2023年湖南·10题）．设集合， 都是的含两个元素的子集，且满足：对任意的，（，都有（表示两个数中的较小者），则的最大值是（ b ）
a．10 b．11 c．12 d．13
【例题3】、（2023年北京文科·15题·12分）记关于的不等式的解集为，不等式的解集为．
i）若，求ii）若，求正数的取值范围．
解：（i）由，得．
ii）．由，得，又，所以，即的取值范围是．
★课堂练习：
1、书本p7：练习题；p12： 5：①②b组第2题。
2、已知集合a=｛2，8，a｝, b=｛2，a2-3a+4｝,又ab，求出a之值。(解：a= -1或4)
3、已知集合a=｛x|-3≤x≤4｝b=｛x|2m-1≤x≤m+1｝,当ba时，求出m之取值范围。（解：m≥-1)
特别注意：当ba时，b一定包括有两种情形：b=或b≠，解题时极易漏掉b=这一情况从而出错！
三）、今日作业：
1、判断下列集合a与b之间有怎样的包含或相等关系：
、已知集合a=｛x|x=2k-1,k∈z｝b=｛x|x=2m+1,m∈z｝(解：a=b）
、已知集合a=｛x|x=2k,k∈z｝b=｛x|x=4m,m∈z｝(解：b a）
2、已知集合m=｛x|-2≤x≤5},n=
①、若nm，求实数m的取值范围；（解：m≤3，注意n为的情况！)
②、若x∈z，则m的非空真子集的个数是多少个？（解：28-2=254个）
③、（选做）当x∈r 时，没有元素使得x∈m与x∈n同时成立，求实数m的取值范围（解：m<2或m>4)
四）、提高练习：
【题1】、设集合s=｛a,b,c,d,e｝,则包含｛a,b｝的s的子集共有（d ）个。
a 2 b 3c 5d 8
【题2】、集合a=｛（x,y)|2x+y=5,x∈n,y∈n｝,则a的非空真子集的个数为（c ）
【题3】、对于两个非空数集a、b，定义点集如下：a×b=｛(x,y)|x∈a, y∈b｝,若a=｛1，3｝，b=｛2，4｝，则点集a×b的非空真子集的个数是___14_个。
【题4】、集合的真子集个数是 （ a ）
a）16b）8c）7d）4
解答、，a的真子集有：，共7个，选c
【题5】、（2004湖北）已知集合p=｛m|-1a p=q b pqc pqd p∩q=q
【题6】、设集合m=｛x|x= +k∈z｝,n=｛x|x= +k∈z｝,则（ b）
a m=n b mnc mnd m∩n=
（ⅲ）课堂回顾与小结：
3、 分清子集、真子集、空集；注意的特殊性。
4、 利用韦恩图，利用数轴，注意分类讨论思想的培养与应用。
讲义三： 集合之间的基本运算（2课时。
撰稿： 方锦昌电子邮箱 fangjingchang2 手机号码 139***
ⅰ）、基本概念及知识体系：
1、集合之间的基本运算：①、交集a∩b=｛x|x∈a且x∈b｝;
②、并集a∪b=｛x|x∈a或x∈b｝；
、全集和补集：cua=｛x|x∈u且xa｝
2、注意韦恩图、利用数轴的数形结合思想以及分类讨论的数学思想的培养与应用。
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