第二章平面向量。
一、基本内容串讲。
本章主干知识：向量的基本概念和实际背景，平面向量的加、减、数乘以及数量积的运算，特别是坐标运算；利用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些实际问题。
1．平面向量的实际背景及基本概念。
从物理上的力和位移出发，抽象出向量的概念，明确向量与数量的区别：大小和方向是向量的两个要素，它带有方向，具有几何意义，向量不能比较大小；理解向量的基本概念：向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等，要结合图形区分平行向量、相等向量、共线向量等概念：
平行向量即共线向量，两向量共线不一定相等，而两向量相等则一定共线，另外，还要注意向量“共线”与线段“共线”的区别：共线向量不考虑起点。
2．平面向量的线性运算。
1）掌握向量的加法运算，并理解其几何意义；会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力； 通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法。
2）了解相反向量的概念；掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义；通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，理解事物之间可以相互转化的辩证思想。
3）掌握实数与向量积的定义及几何意义；了解数乘运算的运算律，理解向量共线的充要条件。
3．平面向量的基本定理及坐标表示。
1）平面向量的基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ1+λ2.
2）平面向量的坐标运算： 两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差；一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标。若，则==(x2， y2) (x1，y1)= x2 x1， y2 y1)；实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。
3）向量共线的两种判定方法：a∥ｂ(
4．平面向量的数量积。
1）平面向量数量积的定义：已知两个非零向量a与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cos叫a与ｂ的数量积，记作ab，即有ab = a||b|cos，（０并规定0与任何向量的数量积为0。注意：
两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos的符号所决定。
2）向量的数量积的几何意义：数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积。
3）两个向量的数量积的性质：
设a、b为两个非零向量，e是单位向量；
1 ea = ae =|a|cos；
2 ab ab = 0；
3 当a与b同向时，ab = a||b|；当a与b反向时，ab = a||b|. 特别地aa = a|2或。
4 cos =
5 |ab| ≤a||b|。
5．平面向量的应用。
1）能用平面向量知识处理平面几何中的一些问题，如长度、角、距离，平行、垂直等问题。
2）用向量知识把日常生活中的问题转化为数学问题，建立数学模型解决实际问题。考点。
二、考点阐述。
10平面向量和向量相等的含义及向量的几何表示。
21、如图，在平行四边形中，下列结论中正确的是 （
ab. c. d.
解析：考点11向量加、减法的运算及其几何意义。
22、在平行四边形中，若，则必有。
a. b. c.是矩形 d.是正方形。
23、化简所得的结果是。
abc．0d．
考点12向量数乘的运算。
24、知向量e1、e2不共线，实数(3x-4y)e1＋(2x-3y)e2 =6e1+3e2 ,则x－y的值等于 （
a．3b．-3c．0d．2
考点13向量数乘运算的几何意义及两向量共线的含义。
25、已知不共线，，当___时，共线。
26、设是两个不共线的向量，，若a、b、d三点共线，求k的值。
解析】： 若a，b，d三点共线，则共线， 即。
由于与不共线，得故。
点评】：本题属于“知道”层次，解答的关键是理解共线的条件：
a∥ｂ(考点14向量的线性运算性质及其几何意义。
27、在菱形abcd中，下列关系中不正确的是。
ab. cd.
考点15平面向量的基本定理及其意义。
28、平面直角坐标系中，o为坐标原点，已知两点a(3,1),b(-1,3),若点c(x, y)满足=α+其中α,βr且α+β1，则x, y所满足的关系式为。
a．3x+2y-11=0 b．(x-1)2+(y-2)2=5 c．2x-y=0d．x+2y-5=0
考点16平面向量的正交分解及其坐标表示。
29、梯形的顶点坐标为，，且，，则点的坐标为。
考点17用坐标表示平面向量的加、减及数乘运算。
30、已知，那么等于（ ）
abcd.5
考点18用坐标表示平面向量共线的条件。
31、已知向量，向量，且，那么等于（ ）
abcd.
考点19平面向量数量积的含义及其物理意义。
32、已知△三个顶点的坐标分别为，，，若，那么的值是。
abcd.
考点20平面向量的数量积与向量投影的关系。
33、已知，是单位向量，当它们之间的夹角为时，在方向上的投影为。
考点21平面向量数量积的坐标表达式及其运算。
34、已知向量，，那么向量的坐标是。
35、设，，若与的夹角为钝角，则的取值范围是。
考点22运用数量积表示两个向量的夹角，并判断两个平面向量的垂直关系。
36、若且，则向量与的夹角为（ ）
abcd、解析，cos =,故=，选c。
37、已知非零向量、满足，且。
1）求；（2）当时，求向量与的夹角的值。
解：（1）因为，即，所以，故5分。
2）因为=，故10分。
考点23平面向量的应用。
37、设向量a，b，定义两个向量a，b之间的运算“”为。
若向量p，，则向量q等于。
a. bcd.
38、已知=， 设是直线上一点，是坐标原点。求使取最小值时的； 对（1）中的点，求的余弦值。
解析：（1）设，则，由题意可知又。所以即，所以，则，当时，取得最小值，此时，即。
2）因为。39、已知点，点，且函数（为坐标原点），）求函数的解析式；
） 求函数的最小正周期及最值．
解（1）依题意，，点， 所以，．
因为，所以的最小值为，的最大值为，的最小正周期为。
三、解题方法分析。
1．正确理解平面向量的有关概念。
方法点拨】平面向量的概念比较多，主要有向量的模、零向量、单位向量、平行向量、
相等向量、共线向量等，要从数和形两个方面加以理解，这样才不会弄错。
例1给出下列命题：
向量与是共线向量，则a、b、c、d四点必在一直线上；
两个单位向量是相等向量；
若a=b, b=c,则a=c；
若一个向量的模为0，则该向量的方向不确定；
若|a|=|b|,则a=b。
若a与b共线， b与c共线，则a与c共线。
其中正确命题的个数是（ ）
a．1个 b．2个 c．3个 d．4个。
解析】①不正确．共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量、在同一直线上。
不正确。单位向量模均相等且为1，但方向并不确定。
正确。因为a=b，所以a、b的长度相等且方向相同；同理b、c的长度相等且方向相同，故a、c的长度相等且方向相同，即a=c。
正确。 因为零向量的方向是任意的。
不正确。向量相等还必须方向相同。
不正确。 若a、c为两非零向量且不共线时，b=0符合条件。综上所述，答案为b。
点评】：本题属于“知道”层次，考查基本概念，对于零向量、单位向量、平行向量、
共线向量的概念特征及相互关系必须把握好。
2．掌握平面向量的有关运算，提高运算能力。
方法点拨】向量加、减、数乘的结果仍是向量，而向量的数量积则是一个数量，通过向量的数量积可以计算向量的长度、两点间的距离，通过向量的夹角可以判断两个向量是否垂直，解题时要注意数量积不具有结合律。
例1、如图所示，d、e、f分别是△abc的边ab、bc、ca的中点，则＝(
a. b.
c. d.
解析】：∵由三角形中位线定理，故选d
点评】：本题属于“理解”层次，考查考生的基本运算能力，主要是对向量减法的理。
解和运用，解题时利用了向量相等，创共同起点进行转化。
例2、若且，则向量与的夹角为（ ）
abcd、解析。
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