一、某成功人士向学院捐献20万元设立优秀本科生奖学金，学院领导打算将这笔捐款以整存整取一年定期的形式存入银行，第二年一到期就支取，取出一部分作为当年的奖学金，剩下的继续以整存整取一年定期的形式存入银行……请研究这个问题，并向学院领导写一份报告。
解答。设第年取出奖学金，继续存在银行的钱为，银行整存整取的利率为，奖学金为万元，则可得：
解得。其中万元。
当时，数列为递增数列；当时，数列为递减数列；当时，数列不增不减，所以平衡点为。
一般而言，可令，所以20万元整存整取一年定期后的利息为万元。
故可以0.6万元为分界点分3种情况考虑，matlab程序如下：
n=20;r=[0.03,0.03,0.03];x=[20,20,20];d=[0.5,0.6,0.7];
for k=1:n
x(k+1,:)x(k,:)1+r)-d;
enddisp不同奖学存款余额变化')
disp(' 年 0.5万元 0.6万元 0.7万元')
disp([(0:n)',x])
plot(0:n,x(:,1),'k^',0:n,x(:,2),'ko',0:n,x(:,3),'kv')
axis([-1,n+1,15,25])
legend('d=0.5','d=0.6','d=0.7')
title('不同奖学存款余额变化')
xlabel('年份'),ylabel('余额/万元')
程序运行结果如下：
不同奖学存款余额变化。
年 0.5万元 0.6万元 0.7万元。
于是得到如下结论：
在时。1）奖学金金额低于0.6万元时，存款余额将持续增加；
2）奖学金金额等于0.6万元时，存款余额保持不变。
3）奖学金金额高于0.6万元时，存款余额将逐渐减少。
因此，学校领导应该控制奖学金不高于0.6万元。
二、有一位老人60岁时将养老金10万元以整存零取的方式存入，从第一个月开始每月支取1000元，银行每月初按月利率0.3%把上月结余额孳生的利息自动存入养老金。请你计算老人多少岁时将把养老金用完？
如果想用到80岁，问60岁时应存入多少钱？
解答。令第个月末，老人的养老金余额为万元，月利率为，则。
解得。其中万元。
当时，数列为递增数列；当时，数列为递减数列；当时，数列不增不减，所以平衡点为。
编程计算老人养老金何时用完，matlab程序如下：
x=x0=10;r=0.003;
x(1)=(1+r).*x0;k=1;
while x(k)>0
x(k+1)=(1+r)*x(k)-0.1;
k=k+1;endk
运行结果为。k =
故养老金可以用121个月。
如果想用到80岁，即，matlab程序如下：
x=x(241)=0;
for i=241:-1:2
x(i-1)=x(i)+0.1/(1+0.003)^(242-i);
endx0=x(1)
运行结果为。x0 =
即老人需要存入17.0908万元。
三、继续考虑3.4.2小节的“酵母培养物的增长”案例，建立微分方程模型，模拟酵母培养物的增长。
解答。建立阻滞增长模型，对函数进行数据拟合，拟合程序如下：
t=0:18;
x=[9.6,18.3,29.
0,47.2,71.1,119.
1,174.6,257.3,350.
7,441.0,513.3,559.
7,594.8,629.4,640.
8,651.1,655.9,659.
6,661.8];
f=@(b,t)b(2).*b(3)./b(3)+(b(2)-b(3)).exp(-b(1).*t-0)))
b1,r1]=nlinfit(t(1:19),x(1:19),f,[0.5,660,9.6])
sse1=sum(r1.^2)
subplot(2,1,1),plot(t,x,'k*',0:.01:18,f(b1,0:.01:18),'k')
axis([-1,19,0,670]),legend('观测值','模拟值',4)
xlabel('时间k(小时)')ylabel('生物量x_k(克)')
title('阻滞增长方程模拟酵母培养物的增长的模拟效果图')
subplot(2,1,2), plot(t,r1,'k.',1,19],[0,0],'k')
axis([-1,19,-40,40])
xlabel('时间k(小时)')ylabel('模拟误差')
title('阻滞增长方程模拟酵母培养物的增长的模拟误差')
结果如下：b1 =
r1 =columns 1 through 8
columns 9 through 16
columns 17 through 19
sse1 =
拟合得到固有增长率，酵母菌培养物最大容量，初始值，误差平方和为。
由拟合效果图和模拟误差图可知，该阻滞增长模型能够较好地模拟酵母培养物生物量的变化趋势。
四、在桥梁的一端每隔一段时间记录在一分钟内有多少辆汽车过桥。得到表5.5的数据，请估计一天有多少辆汽车过桥。
表5.5 过桥车辆数据。
解答。通过matlab进行线性分段插值，然后用复化梯形求积公式求出一天过桥的车辆数，程序如下：
x=[0,2,4,5,6,7,8,9,10.5,12.5,14,16,17,18,19,20,21,22,23,24];
y=[2,2,0,2,5,8,25,12,10,12,7,9,28,22,10,9,11,8 9,3];
x0=x+(1/60)*(1/2);y0=y/(1/60);
u=(1/60)*(1/2):(1/60):24+(1/60)*(1/2);
y=interp1(x0,y0,u);
sum=trapz(y)*(1/60)
plot(u,y)
xlabel('时间/h'),ylabel('车辆数'),title('线性分段插值')
结果如下：sum=
五、有一辆汽车在一段限速80km/h的直路上行驶，被交通监控设备观测到以下数据（见表5.6），请回答以下问题：
1）当时，这辆汽车的位置和速度分别是多少？
2）这辆汽车分别从哪个时刻开始和结束超速？
3）在观测的时段内，这辆汽车的最高速度是多少？发生在哪个时刻？
表5.6汽车被交通监控设备观测到的数据。
解答。利用matlab进行三次样条插值，程序如下：
t=[0,3,5,8,13];y=[20,0,65,121,194,313,20];
pp=csape(t,y,'complete'),w=
s=@(t,tj,c)c(1).*t-tj).^3+c(2).*t-tj).^2+c(3).*t-tj)+c(4);
d1s=@(t,tj,c)3.*c(1).*t-tj).^2+2.*c(2).*t-tj)+c(3);
d2s=@(t,tj,c)6.*c(1).*t-tj)+2.*c(2);
d3s=@(t,tj,c)6.*c(1).*ones(size(t));
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