七年级上数学思维拓展训练。
第一章兴趣数学。
七桥问题（一笔画问题）
18世纪时，欧洲有一个风景秀丽的小城哥尼斯堡，那里有七座桥。如图1所示：河中的小岛a与河的左岸b、右岸c各有两座桥相连结，河中两支流间的陆地d与a、b、c各有一座桥相连结。
当时哥尼斯堡的居民中流传着一道难题：一个人怎样才能一次走遍七座桥，每座桥只走过一次，最后回到出发点？大家都试图找出问题的答案，但是谁也解决不了这个问题。
七桥问题引起了著名数学家欧拉（1707—1783）的关注。他把具体七桥布局化归为图所示的简单图形，于是，七桥问题就变成一个一笔画问题：怎样才能从a、b、c、d中的某一点出发，一笔画出这个简单图形（即笔不离开纸，而且a、b、c、d、e、f、g各条线。
只画一次不准重复），并且最后返回起点？
欧拉经过研究得出的结论是：图是不能一笔画出的图形。这就是说，七桥问题是无解的。这个结论是如何产生呢？
如果我们从某点出发，一笔画出了某个图形，到某一点终止，那么除起点和终点外，画笔每经过一个点一次，总有画进该点的一条线和画出该点的一条线，因此就有两条线与该点相连结。如果画笔经过一个n次，那么就有2n条线与该点相连结。因此，这个图形中除起点与终点外的各点，都与偶数条线相连。
如果起点和终点重合，那么这个点也与偶数条线相连；如果起点和终点是不同的两个点，那么这两个点部是与奇数条线相连的点。
综上所述，一笔画出的图形中的各点或者都是与偶数条线相连的点，或者其中只有两个点与奇数条线相连。
图2中的a点与5条线相连结，b、c、d各点各与3条线相连结，图中有4个与奇数条线相连的点，所以不论是否要求起点与终点重合，都不能一笔画出这个图形。
欧拉定理： 如果一个图是连通的并且奇顶点的个数等于0或2，那么它可以一笔画出；否则它不可以一笔画出。
一笔画：⒈凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。画时可以把任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。
⒉凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点），一定可以一笔画成。画时必须把一个奇点为起点，另一个奇点终点。
⒊其他情况的图都不能一笔画出。(奇点数除以二便可算出此图需几笔画成。)
练习：你能笔尖不离纸，一笔画出下面的每个图形吗？试试看。（不走重复线路）
图例1图例2
图例3图例4
第二章绝对值。
知识回顾：绝对值的意义。
1） 代数意义：一个正数的绝对只是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.
2） 几何意义：一个数的绝对值是表示这个数的点在数轴上离开原点的距离。
1、 绝对值的常用性质：
非负性：任何一个数的绝对值都是非负数，即|a|≥0.
双解性：绝对值相等的数有两个，它们恰好互为相反数（0除外），即若|x|＝a﹙a＞0﹚则x＝±a.
|－a|＝|aa|≥aa|)＝a|﹦a
|ab|﹦|a||bb≠0﹚
解题技巧： 解答绝对值问题，常用的思维方法有：
1、分类讨论思想：去掉含字母的绝对值时，需要对字母取值加以讨论。
2、数形结合思想：绝对值问题通常会和数轴联系在一起。
3、 零点分段法：多个绝对值化简时常用。
教学过程：基础知识检测：】
1、有理数的绝对值一定是 （ a、正数 b、整数 c、正数或零 d、自然数。
2、绝对值等于它本身的数有 （ a、0个 b、1个 c、2个 d、无数个。
3、等于a、3 b、－3 c、 d、
4、若a与2互为相反数，则|a＋2|等于。
a、0b、－2c、2d、4
5、|x|=2,则这个数是（ ）
a.2 b.2和－2 c.－2d.以上都错。
6、| a|=－a，则a一定是（ ）
7、a.负数b.正数 c.非正数 d.非负数。
7、一个数在数轴上对应点到原点的距离为m，则这个数为（ ）
a.－m c.±m d.2m
8、如果一个数的绝对值等于这个数的相反数，那么这个数是（ ）
a.正数b.负数 c.正数、零d.负数、零。
9、-4的的相反数是___4的倒数是___4的绝对值是___4倒数的相反数是___4倒数的绝对值是___4倒数的相反数的绝对值是___
10、当时当时如果，则。
典例解析：】
一。求未知数。
例1：若，则 。若，则
思考提示：根据绝对值定义：数轴到原点距离是5和0的点有几个？是多少？
变式1:若，则。
若，则。若，则。
变式2：，则。
若，则。 二。非负数的性质应用。
例2：若，则 。思考提示：两个最小是0的数加在一起等于0说明什么呢？
变式：1：非负数类型玩花样：若，则。
变式：2：变量个数不断增加：若，则 。
总结：若干非负数之和为0
三。数轴上两点间的距离公式：若数轴上两点所表示的数为，则两点间的距离为。
例3．（距离问题）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离 4与，3与5，与，与3.
并回答下列各题：
1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答。
2）若数轴上的点a表示的数为x，点b表示的数为―1，则a与b两点间的距离。
可以表示为。
3）结合数轴求得的最小值为 ，取得最小值时x的取值范围为 __
4） 满足的的取值范围为。
5）若的值为常数，试求的取值范围．
四。绝对值的最值问题。
例4.（1）当取何值时，有最小值？这个最小值是多少？（2）当取何值时，有最大值？这个最大值是多少？（3）求的最小值。（4）求的最小值。
2）当b为___时，5-有最大值，最大值是___
当a为___时，1＋|a +3 |有最小值是。
3） 已知，设，求m 的最大值与最小值．
4） 利用数轴分析，可以看出，这个式子表示的是到2的距离与到的距离之和，它表示两条线段相加：⑴当时，发现，这两条线段的和随的增大而越来越大；⑵当时，发现，这两条线段的和随的减小而越来越大；⑶当时，发现，无论在这个范围取何值，这两条线段的和是一个定值 ，且比⑴、⑵情况下的值都小。因此，总结，有最小值 ，即等于到的距离。
5） 利用数轴分析，这个式子表示的是到的距离与到1的距离之差它表示两条线段相减：⑴当时，发现，无论取何值，这个差值是一个定值 ；⑵当时，发现，无论取何值，这个差值是一个定值 ；
当时，随着增大，这个差值渐渐由负变正，在中点处是零。
因此，总结，式子当时，有最大值当时，有最小值。
五。含未知数的绝对值的化简（学习去绝对值符号法则）
例5：阅读下列材料并解决有关问题：
我们知道，现在我们可以用这一个结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式时，可令和，分别求得（称分别为与的零点值）。在有理数范围内，零点值和可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：
1）当时，原式=;
2）当时，原式=；
3）当时，原式=。
综上讨论，原式=
通过以上阅读，请你解决以下问题：
1） 先分别求出和的零点值，再化简。
2） 已知的最小值是，的最大值为，求的值。
3） 如果2x＋| 4－5x|＋ 1－3x |＋4恒为常数，求x的取值范围。
课后练习】1、若，则x若，则x若，则x
2、若|m－1|=m－1,则m___1;若|m－1|>m－1,则m___1;
3．若实数、y满足2002(x一1)2，则 ．
4. 若与互为相反数，则与的大小关系是( )
a． b． c． d．
5.若与互为相反数，求的值。
6.先求零点值，再化简｜3x+1｜+｜2x-1｜．
7.当a为___时，3＋|2a－1 |有最小值是___当b为___时，1- |2＋b|有最大值是___
8.的最小值是（ ）
a． 2 b．0 c．1 d．-1
★★9. ⑴求当取何值时，有最小值，最小值是多少。
求当取何值时，有最小值，最小值是多少。
第三章整式的加减。
典型例题】类型一：整体代入法。
例1、若代数式的值是，求代数式的值。
例2、 设和均不为零，和是同类项，求。
例3、当时，代数式的值是3，求当时，代数式的值。例4、 设，其中、、为常数，已知，求的值。
例4、已知多项式中，为常数，当时，多项式的值是1；当时。多项式的值是2.若是8和时，多项式的值分别是、,求的值。
类型二：降次法。
例5、（2023年北京竞赛题）若，求代数式的值。
变式练习、若。
例6、已知为有理数，且，求代数式的值。
七年级数学校本练习
七年级数学校本练习051 用方程解决问题 综合2 命题 吴炳华审核 倪文娟时间 40分钟班级姓名学号 1.一个三位数的数字和为11，十位数字是x，个位数字是十位数字的3倍，百位数字比十位数字的2倍少1，则这个三位数是。2.一种药物涨价25 的 是50元，那么涨价前的 x满足的方程是。3 轮船在两个码...
七年级上校本教材
七年级上册。starter unit 1 good morning 话题 和朋友会面meeting fiends 功能 能够问候他人或对他人的问候做出应答 greet people and reply to a greeting 语法 1.感知be动词am,are 的用法。2.感知人称代词 i,yo...
七年级数学教材
新思维学校。七年级寒假预科班。数学 授。课。讲。义。内部资料，翻版必究 目录。第一讲巧求有限个数的和1 第二讲巧求有限个数的积与和4 第三讲生活中的立体图形8 第四讲展开和折叠10 第五讲截一个几何体13 第六讲从三个方向看物体的形状15 第七讲有理数18 第八讲数轴 绝对值20 第九讲有理数的加减...