第六讲图形面积。
简单的面积计算是小学数学的一项重要内容。要会计算面积，首先要能识别一些特别的图形：正方形、三角形、平行四边形、梯形等等，然后会计算这些图形的面积。
如果我们把这些图形画在方格纸上，不但容易识别，而且容易计算。
上面左图是边长为 4的正方形，它的面积是 4×4＝ 16（格）；右图是 3×5的长方形，它的面积是 3×5＝ 15（格）.
上面左图是一个锐角三角形，它的底是5，高是4，面积是 5×4÷2＝ 10（格）；右图是一个钝角三角形，底是4，高也是4，它的面积是4×4÷2＝8（格）.这里特别说明，这两个三角形的高线一样长，钝角三角形的高线有可能在三角形的外面。
上面左图是一个平行四边形，底是5，高是3，它的面积是 5× 3＝ 15（格）；右图是一个梯形，上底是 4，下底是7，高是4，它的面积是。
（4+7）×4÷2＝22（格）.
上面面积计算的单位用“格”，一格就是一个小正方形。如果小正方形边长是1厘米，1格就是1平方厘米；如果小正方形边长是1米，1格就是1平方米。也就是说我们设定一个方格的边长是1个长度单位，1格就是一个面积单位。
在这一讲中，我们直接用数表示长度或面积，省略了相应的长度单位和面积单位。
一、三角形的面积。
用直线组成的图形，都可以划分成若干个三角形来计算面积。三角形面积的计算公式是：
三角形面积= 底×高÷2.
这个公式是许多面积计算的基础。因此我们不仅要掌握这一公式，而且要会灵活运用。
例1 右图中bd长是4，dc长是2，那么三角形abd的面积是三角形adc面积的多少倍呢？
解：三角形abd与三角形adc的高相同。
三角形abd面积=4×高÷2.
三角形 adc面积=2×高÷2.
因此三角形abd的面积是三角形adc面积的2倍。注意：三角形的任意一边都可以看作是底，这条边上的高就是三角形的高，所以每个三角形都可看成有三个底，和相应的三条高。
例2 右图中，bd，de，ec的长分别是2，4，是线段ae的中点，三角形abc的高为4.求三角形dfe的面积。
解： bc＝ 2＋ 4＋ 2＝ 8.
三角形 abc面积= 8× 4÷2＝16.
我们把a和d连成线段，组成三角形ade，它与三角形abc的高相同，而de长是4，也是bc的一半，因此三角形ade面积是三角形abc面积的一半。同样道理，ef是ae的一半，三角形dfe面积是三角形ade面积的一半。
三角形 dfe面积= 16÷4＝4.
例3 右图中长方形的长是20，宽是12，求它的内部阴影部分面积。
解：abef也是一个长方形，它内部的三个三角形阴影部分高都与be一样长。
而三个三角形底边的长加起来，就是fe的长。因此这三个三角形的面积之和是。
fe×be÷2，它恰好是长方形abef面积的一半。
同样道理，fecd也是长方形，它内部三个三角形（阴影部分）面积之和是它的面积的一半。
因此所有阴影的面积是长方形abcd面积的一半，也就是。
通过方格纸，我们还可以从另一个途径来求解。当我们画出中间两个三角形的高线，把每个三角形分成两个直角三角形后，图中每个直角三角形都是某个长方形的一半，而长方形abcd是由这若干个长方形拼成。因此所有这些直角三角形（阴影部分）的面积之和是长方形abcd面积的的一半。
例4 右图中，有四条线段的长度已经知道，还有两个角是直角，那么四边形abcd（阴影部分）的面积是多少？
解：把a和c连成线段，四边形abcd就分成了两个，三角形abc和三角形adc.
对三角形abc来说，ab是底边，高是10，因此。
面积=4×10÷2＝ 20.
对三角形 adc来说， dc是底边，高是 8，因此。
面积=7×8÷2＝28.
四边形 abcd面积= 20＋ 28＝ 48.
这一例题再一次告诉我们，钝角三角形的高线有可能是在三角形的外面。
例5 在边长为6的正方形内有一个三角形bef，线段ae＝3，df＝2，求三角形bef的面积。
解：要直接求出三角形bef的面积是困难的，但容易求出下面列的三个直角三角形的面积。
三角形 abe面积=3×6×2＝ 9.
三角形 bcf面积= 6×（6-2）÷2＝ 12.
三角形 def面积=2×（6-3）÷2＝ 3.
我们只要用正方形面积减去这三个直角三角形的面积就能算出：
三角形 bef面积=6×6-9-12-3＝12.
例6 在右图中，abcd是长方形，三条线段的长度如图所示，m是线段de的中点，求四边形abmd（阴影部分）的面积。
解：四边形abmd中，已知的太少，直接求它面积是不可能的，我们设法求出三角形dce与三角形mbe的面积，然后用长方形abcd的面积减去它们，由此就可以求得四边形abmd的面积。
把m与c用线段连起来，将三角形dce分成两个三角形。三角形 dce的面积是 7×2÷2＝7.
因为m是线段de的中点，三角形dmc与三角形mce面积相等，所以三角形mce面积是 7÷2＝3.5.
因为 be＝ 8是 ce＝ 2的 4倍，三角形 mbe与三角形mce高一样，因此三角形mbe面积是。
长方形 abcd面积=7×（8＋2）=70.
四边形 abmd面积=70-7- 14＝ 49.
二、有关正方形的问题。
先从等腰直角三角形讲起。
一个直角三角形，它的两条直角边一样长，这样的直角三角形，就叫做等腰直角三角形。它有一个直角（90度），还有两个角都是45度，通常在一副三角尺中。有一个就是等腰直角三角形。
两个一样的等腰直角三角形，可以拼成一个正方形，如图（a）.四个一样的等腰直角三角形，也可以拼成一个正方形，如图（b）.
一个等腰直角三角形，当知道它的直角边长，从图（a）知，它的面积是。
直角边长的平方÷2.
当知道它的斜边长，从图（b）知，它的面积是。
斜边的平方÷4
例7 右图由六个等腰直角三角形组成。第一个三角形两条直角边长是8.后一个三角形的直角边长，恰好是前一个斜边长的一半，求这个图形的面积。
解：从前面的图形上可以知道，前一个等腰直角三角形的两个拼成的正方形，等于后一个等腰直角三角形四个拼成的正方形。因此后一个三角形面积是前一个三角形面积的一半，第一个等腰直角三角形的面积是8×8÷2＝32.
这一个图形的面积是。
例8 如右图，两个长方形叠放在一起，小长形的宽是2，a点是大长方形一边的中点，并且三角形abc是等腰直角三角形，那么图中阴影部分的总面积是多少？
解：为了说明的方便，在图上标上英文字母 d，e，f，g.
三角形abc的面积=2×2÷2＝2.
三角形abc，ade，efg都是等腰直角三角形。
三角形abc的斜边，与三角形ade的直角边一样长，因此三角形 ade面积=abc面积×2＝4.
三角形efg的斜边与三角形abc的直角边一样长。因此三角形efg面积=abc面积÷2＝1.
阴影部分的总面积是 4＋1＝5.
例9 如右图，已知一个四边形abcd的两条边的长度ad＝7，bc＝3，三个角的度数：角 b和d是直角，角a是45°.求这个四边形的面积。
解：这个图形可以看作是一个等腰直角三角形ade，切掉一个等腰直角三角形bce.
因为。a是45°，角d是90°，角e是。
180°-45°-90°＝ 45°，所以ade是等腰直角三角形，bce也是等腰直角三角形。
四边形abcd的面积，是这两个等腰直角三角形面积之差，即。
这是1994小学数学奥林匹克决赛试题。原来试题图上并没有画出虚线三角形。参赛同学是不大容易想到把图形补全成为等腰直角三角形。
因此做对这道题的人数不多。但是有一些同学，用直线ac把图形分成两个直角三角形，并认为这两个直角三角形是一样的，这就大错特错了。这样做，角 a是 45°，这一条件还用得上吗？
图形上线段相等，两个三角形相等，是不能靠眼睛来测定的，必须从几何学上找出根据，小学同学尚未学过几何，千万不要随便对图形下结论。我们应该从题目中已有的条件作为思考的线索。有45°和直角，你应首先考虑等腰直角三角形。
现在我们转向正方形的问题。
例10 在右图 11×15的长方形内，有四对正方形（标号相同的两个正方形为一对），每一对是相同的正方形，那么中间这个小正方形（阴影部分）面积是多少？
解：长方形的宽，是“一”与“二”两个正方形的边长之和，长方形的长，是“一”、“三”与“二”三个正方形的边长之和。
长-宽 =15-11＝4
是“三”正方形的边长。
宽又是两个“三”正方形与中间小正方形的边长之和，因此。
中间小正方形边长=11-4×2＝3.
中间小正方形面积=3×3＝ 9.
如果把这一图形，画在方格纸上，就一目了然了。
例11 从一块正方形土地中，划出一块宽为1米的长方形土地（见图），剩下的长方形土地面积是15.75平方米。求划出的长方形土地的面积。
解：剩下的长方形土地，我们已知道。
长-宽=1（米）.
还知道它的面积是15.75平方米，那么能否从这一面积求出长与宽之和呢？
如果能求出，那么与上面“差”的算式就形成和差问题了。
我们把长和宽拼在一起，如右图。
从这个图形还不能算出长与宽之和，但是再拼上同样的两个正方形，如下图就拼成一个大正方形，这个正方形的边长，恰好是长方形的长与宽之和。
可是这个大正方形的中间还有一个空洞。它也是一个正方形，仔细观察一下，就会发现，它的边长，恰好是长方形的长与宽之差，等于1米。
现在，我们就可以算出大正方形面积：
15.75×4+1×1＝ 64（平方米）.
64是8×8，大正方形边长是 8米，也就是说长方形的。
长+宽=8（米）.
因此。长=（8＋1）÷2＝ 4.5（米）.
宽=8-4.5＝3.5（米）.
那么划出的长方形面积是。
4.5×1＝4. 5（平方米）.
例12 如右图。正方形abcd与正方形efgc并放在一起。已知小正方形efgc的边长是6，求三角形aeg（阴影部分）的面积。
解：四边形aecd是一个梯形。它的下底是ad，上底是ec，高是cd，因此。
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