旋转体的计算。
分别以矩形、直角三角形、直角梯形的一边、一直角边、垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而成的曲面所围成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台（下图）．
旋转轴叫做它们的轴，在轴上这条边的长度叫做它们的高，垂直于轴的边旋转而形成的圆面叫做它们的底面，不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做它们的侧面，这条边无论旋转到什么位置，都叫做旋转体的母线．
圆柱的侧面展开后是个矩形，它的宽是圆柱的母线，长是圆柱底面的周长．由此可得。
s圆柱侧＝2πrl，其中l是圆柱侧面的母线长，r是底面半径（下左图）．
圆锥的侧面展开图是一个扇形，如上页下角图这个扇形的半径是圆锥的母线，弧长是圆锥底面的周长，于是可得。
其中l是圆锥侧面的母线，c是圆锥底面的周长，r是圆锥底面的半径．
圆台是用一个平行于圆锥底面的平面截圆锥而得到的，所以圆台的侧面展开图是两个扇形的差，常叫扇环形．这个扇环形的宽是圆台侧面的母线，外弧长和内弧长分别是圆台的下底面和上底面的周长，于是可得。
其中l是圆台侧面母线长， c上、 c下分别是圆台上底和下底周长， r上、 r下分别是圆台上底和下底的半径（如下图）．
圆柱的体积等于它的底面积s与高h的乘积，即。
v圆柱＝sh＝πr2h，其中r为圆柱底面的半径．
圆锥的体积等于它的底面积s与高h的积的三分之一，圆台的体积是。
其中，r上、r下分别是上底和下底的半径．
例1 甲、乙两个圆柱形水桶，容积一样大，甲桶底圆半径是乙桶的1.5倍，乙桶比甲桶高25厘米，求甲、乙两桶的高度．
分析与解答如下图．
由题意，设乙桶半径为r，则甲桶半径为1.5r；
甲桶高度为h，则乙桶高度为h＋25，则π（1.5r）2h＝πr2（h＋25），2.25r2h＝r2（h＋25），2.25h＝h＋25，∴h＝20（厘米），h＋25＝45（厘米）．
答：甲桶高度为20厘米，乙桶高度为45厘米．
例2 一块正方形薄铁板的边长是22厘米，以它的一个顶点为圆心，边长为半径画弧，沿弧剪下一个扇形，用这块扇形铁板围成一个圆锥筒，求它的容积（结果取整数部分）．
筒底的周长＝2πr＝11π，解得r＝5.5厘米．
因为母线长是22厘米，所以圆锥的高。
答：所求圆锥筒的容积约为674立方厘米．
为2米，圆锥的高为1米，这堆谷重约多少公斤（谷的比重是每立方米重720公斤，结果取整数部分）？
答：这堆谷子重约306公斤．
例4 有一个倒圆锥形的容器，它的底面半径是5厘米，高是10厘米，再把石子全部拿出来，求此时容器内水面的高度．
解：如上页图，设石子取出后，容器内水面高度为x厘米，则倒圆锥容器的容积等于水的体积加上石子的体积．根据体积公式有。
x3＝(52×10－196）×4＝54×4＝27×8＝33×23，∴x＝6．
答：石子取出后，容器内水面的高为6厘米．
例5 有一草垛，如下图，上部是圆锥形，下部是圆台形，圆锥的高为0．7米，底面圆周长为6.28米，圆台的高为1.5米，下底面周长为4.
71米．如果每立方米草约重150公斤，求这垛草的重量（结果取整数部分）．
分析与解答。
圆锥的体积：
圆台上底半径：r上＝r＝1米，
∴草垛体积为：
v圆锥＋v圆台＝0.73＋3.63＝4.36（立方米），故草垛的重量为：150×4.36＝654（公斤）．
答：草垛约重654公斤．
例6 如下右图，在长为35厘米的圆筒形管子的横截面上，最长直线段为20厘米，求这个管子的体积．
分析如上左图，ab是截面圆环的最长直线段，o是截面圆环的圆心．过o作ab的垂线，垂足是c，以 o为圆心，以oc为半径作圆，即管截面的内圆周．连结ao，根据勾股定理有：ao2＝ac2＋co2，∴ao2－oc2＝ac2，同理ao2－oc2＝bc2，∴s圆环＝π·ao2－π·oc2＝π·ao2－oc2）
解：先求出管子横截面的圆环面积为。
则管子的体积为：
π·r2外径·h－πr2内径h＝圆环面积×h
＝100π×35＝3500π（立方厘米）
答：这个管子的体积为3500π立方厘米．
例7 一个长方形的长为16厘米，宽为12厘米．以它的一条对角线为轴旋转此长方体，得到一个旋转体．求这个旋转体的体积．（结果中保留π，即不用近似值代替π．）
分析与解答如下图，记这个长方形为abcd，对角线ac的中点为o．过o作ef垂直于ac，分别交 bc、 ad于 e、 f．由对称性知道：
eo＝of．
设p为ao上的任一点，过p作ao的垂线，分别交折线abe和线段 af于 m和n，那么。
mp＞pn．
因此，四边形abef绕ac旋转得到的立体即为四边形abeo绕ac旋转得到的立体．同样，四边形cdfe绕ac旋转得到的立体即为四边形cdfo绕ac旋转得到的立体．并且，由于对称性，四边形abeo与cdfo是完全一样的，因此由它们绕ac旋转得到的立体也是完全一样的．这样，这两个立体的体积相等．所以，长方形abcd绕ac旋转得到的立体的体积等于四边形abeo绕ac旋转得到的立体的体积的两倍．
记由长方体abcd绕ac旋转得到的立体为w，由四边形abeo绕ac旋转得到的立体为u，由△abb'（b'在ao上，bb'垂直于ao）、四边形beob'绕ac旋转得到的立体分别记为u1、u2．显然，u1与u2有一条公共的边界（由bb'旋转而成的圆），且u1与u2合成u．
因此vw＝2vu＝2（vu1＋vu2）．
由ab＝12厘米，bc＝16厘米及勾股弦定理得：
bb'＝9.6厘米．
在直角三角形abb'中再用勾股弦定理，得。
ab'＝7.2厘米，所以b'o＝ao－ab'＝2.8厘米．
u1是一个圆锥，底面半径bb'＝9.6厘米，高ab'＝7.2厘米，所以。
u2是一个圆台，它是大、小两个圆锥的差，大圆锥以 bb'为底面半径，cb'为高，小圆锥以eo为底面半径，co为高，容易知道。
cb'＝co＋ob'＝12.8厘米，由eo：oc＝ab：bc可以求出eo＝7.5厘米．
因此。所以。
＝853.8π（立方厘米）
答：所求的旋转体体积为853.8π立方厘米．
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