第三讲最短路线问题。
通常最短路线问题是以“平面内连结两点的线中，直线段最短”为原则引申出来的．人们在生产、生活实践中，常常遇到带有某种限制条件的最近路线即最短路线问题．在本讲所举的例中，如果研究问题的限制条件允许已知的两点在同一平面内，那么所求的最短路线是线段；如果它们位于凸多面体的不同平面上，而允许走的路程限于凸多面体表面，那么所求的最短路线是折线段；如果它们位于圆柱和圆锥面上，那么所求的最短路线是曲线段；但允许上述哪种情况，它们都有一个共同点：当研究曲面仅限于可展开为平面的曲面时，例如圆柱面、圆锥面和棱柱面等，将它们展开在一个平面上，两点间的最短路线则是连结两点的直线段．
这里还想指出的是，我们常遇到的球面是不能展成一个平面的．例如，在地球（近似看成圆球）上a、b二点之间的最短路线如何求呢？我们用过a、b两点及地球球心o的平面截地球，在地球表面留下的截痕为圆周（称大圆），在这个大圆周上a、b两点之间不超过半个圆周的弧线就是所求的a、b两点间的最短路线，航海上叫短程线．关于这个问题本讲不做研究，以后中学会详讲．在求最短路线时，一般我们先用“对称”的方法化成两点之间的最短距离问题，而两点之间直线段最短，从而找到所需的最短路线．像这样将一个问题转变为一个和它等价的问题，再设法解决，是数学中一种常用的重要思想方法．
例1如下图，侦察员骑马从a地出发，去b地取情报．在去b地之前需要先饮一次马，如果途中没有重要障碍物，那么侦察员选择怎样的路线最节省时间，请你在图中标出来．
解：要选择最节省时间的路线就是要选择最短路线．
作点a关于河岸的对称点a′，即作aa′垂直于河岸，与河岸交于点c，且使ac=a′c，连接a′b交河岸于一点p，这时p点就是饮马的最好位置，连接pa，此时pa＋pb就是侦察员应选择的最短路线．
证明：设河岸上还有异于p点的另一点p′，连接p′a，p′b，p′a′．
p′a+p′b＝p′a′+p′b＞a′b=pa′+pb=pa+pb，而这里不等式p′a′＋p′b＞a′b成立的理由是连接两点的折线段大于直线段，所以pa+pb是最短路线．此例利用对称性把折线apb化成了易求的另一条最短路线即直线段a′b，所以这种方法也叫做化直法，其他还有旋转法、翻折法等．看下面例题．例2如图一只壁虎要从一面墙壁α上a点，爬到邻近的另一面墙壁β上的b点捕蛾，它可以沿许多路径到达，但哪一条是最近的路线呢？
解：我们假想把含b点的墙β顺时针旋转90°（如下页右图），使它和含a点的墙α处在同一平面上，此时β转过来的位置记为β′，b点的位置记为b′，则a、b′之间最短路线应该是线段ab′，设这条线段与墙棱线交于一点p，那么，折线4pb就是从a点沿着两扇墙面走到b点的最短路线．
证明：在墙棱上任取异于p点的p′点，若沿折线ap′b走，也就是沿在墙转90°后的路线ap′b′走都比直线段apb′长，所以折线apb是壁虎捕蛾的最短路线．由此例可以推广到一般性的结论：想求相邻两个平面上的两点之间的最短路线时，可以把不同平面转成同一平面，此时，把处在同一平面上的两点连起来，所得到的线段还原到原始的两相邻平面上，这条线段所构成的折线，就是所求的最短路线．
例3长方体abcd—a′b′c′d′中，ab=4，a′a=2′，ad=1，有一只小虫从顶。
点d′出发，沿长方体表面爬到b点，问这只小虫怎样爬距离最短？（见图（1））
解：因为小虫是在长方体的表面上爬行的，所以必需把含d′、b两点的两个相邻的面“展开”在同一平面上，在这个“展开”后的平面上d′b间的最短路线就是连结这两点的直线段，这样，从d′点出发，到b点共有六条路线供选择．
从d′点出发，经过上底面然后进入前侧面到达b点，将这两个面摊开在一个平面上（上页图（2）），这时在这个平面上d′、b间的最短路线距离就是连接d′、b两点的直线段，它是直角三角形abd′的斜边，根据勾股定理，d′b2=d′a2+ab2=（1+2）2＋42=25，∴d′b=5．
容易知道，从d′出发经过后侧面再进入下底面到达b点的最短距离也是5．
从d′点出发，经过左侧面，然后进入前侧面到达b点．将这两个面摊开在同一平面上，同理求得在这个平面上d′、b两点间的最短路线（上页图（3）），有：d′b2＝22+（1+4）2=29．
容易知道，从d′出发经过后侧面再进入右侧面到达b点的最短距离的平方也是29．⑤从d′点出发，经过左侧面，然后进入下底面到达b点，将这两个平面摊开在同一平面上，同理可求得在这个平面上d′、b两点间的最短路线（见图），d′b2=（2+4）2+12=37．
容易知道，从d′出发经过上侧面再进入右侧面到达b点的最短距离的平方也是37．比较六条路线，显然情形①、②中的路线最短，所以小虫从d′点出发，经过上底面然后进入前侧面到达b点（上页图（2）），或者经过后侧面然后进入下底面到达b点的路线是最短路线，它的长度是5个单位长度．
利用例2、例3中求相邻两个平面上两点间最短距离的旋转、翻折的方法，可以解决一些类似的问题，例如求六棱柱两个不相邻的侧面上a和b两点之间的最短路线问题（下左图），同样可以把a、b两点所在平面及与这两个平面都相邻的平面展开成同一个平面（下右图），连接a、b成线段ap1p2b，p1、p2是线段ab与两条侧棱线的交点，则折线ap1p2b就是ab间的最短路线．
圆柱表面的最短路线是一条曲线，“展开”后也是直线，这条曲线称为螺旋线．因为它具有最短的性质，所以在生产和生活中有着很广泛的应用．如：螺钉上的螺纹，螺旋输粉机的螺旋道，旋风除尘器的导灰槽，枪膛里的螺纹等都是螺旋线，看下面例题．例4景泰蓝厂的工人师傅要给一个圆柱型的制品嵌金线，如下左图，如果将金线的起点固定在a点，绕一周之后终点为b点，问沿什么线路嵌金线才能使金线的用量最少？
解：将上左图中圆柱面沿母线ab剪开，展开成平面图形如上页右图（把图中的长方形卷成上页左图中的圆柱面时，a′、b′分别与a、b重合），连接ab′，再将上页右图还原成上页左图的形状，则ab′在圆柱面上形成的曲线就是连接ab且绕一周的最**路．圆锥表面的最短路线也是一条曲线，展开后也是直线．请看下面例题．
例5有一圆锥如下图，a、b在同一母线上，b为ao的中点，试求以a为起点，以b为终点且绕圆锥侧面一周的最短路线．
解：将圆锥面沿母线ao剪开，展开如下图（把右图中的扇形卷成上图中的圆锥面时，a′、b′分别与a、b重合），在扇形中连ab′，则将扇形还原成圆锥之后，ab′所成的曲线为所求．
例6如下图，在圆柱形的桶外，有一只蚂蚁要从桶外的a点爬到桶内的b点去寻找食物，已知a点沿母线到桶口c点的距离是12厘米，b点沿母线到桶口d点的距离是8厘米，而c、d两点之间的（桶口）弧长是15厘米．如果蚂蚁爬行的是最短路线，应该怎么走？路程总长是多少？
分析我们首先想到将桶的圆柱面展开成矩形平面图（下图），由于b点在里面，不便于作图，设想将bd延长到f，使df＝bd，即以直线cd为对称轴，作出点b的对称点f，用f代替b，即可找出最短路线了．
解：将圆柱面展成平面图形（上图），延长bd到f，使df=bd，即作点b关于直线cd的对称点f，连结af，交桶口沿线cd于o．
因为桶口沿线cd是b、f的对称轴，所以ob＝of，而a、f之间的最**路是直线段af，又af=ao＋of，那么a、b之间的最短距离就是ao＋ob，故蚂蚁应该在桶外爬到o点后，转向桶内b点爬去．
延长ac到e，使ce=df，易知△aef是直角三角形，af是斜边，ef=cd，根据勾股定理，af2=（ac+ce）2+ef2
（12＋8）2＋152＝625=252，解得af=25．即蚂蚁爬行的最短路程是25厘米．
例7a、b两个村子，中间隔了一条小河（如下图），现在要在小河上架一座小木桥，使它垂直于河岸．请你在河的两岸选择合适的架桥地点，使a、b两个村子之间路程最短．
分析因为桥垂直于河岸，所以最短路线必然是条折线，直接找出这条折线很困难，于是想到要把折线化为直线．由于桥的长度相当于河宽，而河宽是定值，所以桥长是定值．因此，从a点作河岸的垂线，并在垂线上取ac等于河宽，就相当于把河宽预先扣除，找出b、c两点之间的最短路线，问题就可以解决．
解：如上图，过a点作河岸的垂线，在垂线上截取ac的长为河宽，连结bc交河岸于d点，作de垂直于河岸，交对岸于e点，d、e两点就是使两村行程最短的架桥地点．即两村的最短路程是ae＋ed＋db．
例8在河中有a、b两岛（如下图），六年级一班组织一次划船比赛，规则要求船从a岛出发，必须先划到甲岸，又到乙岸，再到b岛，最后回到a岛，试问应选择怎样的路线才能使路程最短？
解：如上图，分别作a、b关于甲岸线、乙岸线的对称点a′和b′，连结a′、b′分别交甲岸线、乙岸线于e、f两点，则a→e→f→b→a是最短路线，即最短路程为：ae＋ef＋fb＋ba．
证明：由对称性可知路线a→e→f→b的长度恰等于线段a′b′的长度．而从a岛到甲岸，又到乙岸，再到b岛的任意的另一条路线，利用对称方法都可以化成一条连接a′、b′之间的折线，它们的长度都大于线段a′b′，例如上图中用“·—表示的路线a→e′→f′→b的长度等于折线ae′f′b的长度，它大于a′b′的长度，所以a→e→f→b→a是最短路线．
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