原式＝（1＋1999）×1999÷2
例2] 求首项是5，公差是3的等差数列的前1999项的和。
分析] 等差数列中首项、末项、公差的关系是：末项＝首项＋公差×（项数－1）
解] 末项＝5＋3×（1999－1）
和＝（5＋5999）×1999÷2
例3] 计算3＋7＋11＋…＋99
分析] 这串加数组成的数列是等差数列，公差是4，首项是3，末项是99，但是我们发现项数从题中看不出来，这时就需要先求出项数。根据上例中介绍的等差数列中首项、末项、公差的关系，可以得到：
项数＝（末项－首项）÷公差＋1
解] 项数＝（99－3）÷4＋1＝25
原式＝（3＋99）×25÷2＝1275
例4] 计算。
分析与解] （1）利用第一讲中的知识，“某数连续减去几个数，等于减去这几个数的和”，可将原式转化为：2000－（3＋6＋9＋…＋51＋54），所以，此题关键是求3＋6＋9＋…＋51＋54的和。
从而，原式＝2000－513＝1487。
2）同学们可能已经发现和式2＋4＋…＋98＋100，1＋3＋5＋…＋97＋99中的项成等差数列，从而可能想到先求和，再做减法。这样做，很自然，也比较简便。有其他更为简单的解法吗？
再看题，你会冒出一个好想法：运用加减法性质，先做减法：2－1，4－3，6－5，…，100－99，它们的差都等于1，然后计算等于1的差数有多少个。
由于题中1至100的全部偶数之和作为被减数，奇数之和为减数，所以，相邻的奇偶数相减（以大减小），共得50个差数1，从而，原式＝（2－1）＋（4－3）＋…98－97）×（100－99）
3）利用求解题（2）的经验，容易发现。
这样，此题就归结为计算上述差的个数。
可以这样计算，由于此数列为等差数列，公差是3，由求项数公式可求得项数为：
1991－2）÷3＋1＝664（个）
这664个数两两配对做减法运算，共得到664÷2＝332个差数，因而。
思考] 还可以怎样计算出差的个数？
还可根据每个括号中被减数所组成的等差数列的项数。）
例5] 2000×1999－1999×1998＋1998×1997－1997×1996＋…＋4×3－3×2＋2×1
解]原式＝1999×（2000－1998）＋1997×（1998－1996）＋…3×（4－2）＋2×1
小结] 解简单的数列问题，首先要判断该数列是否为等差数列，再找出首项、末项、项数等相关量，最后运用相应公式正确求解。
能力训练】1．计算：
2．求首项是5，末项是93，公差是4的等差数列的和。
3．求首项是13，公差是5的等差数列的前30项的和。4．计算：
5．计算：
参***。能力训练】
提示：1到100这一百个自然数中奇、偶数各一半）
3．末项＝13＋（30－1）×5＝158
和＝（13＋158）×30÷2＝2565
2）3×11＝33（等差数列560，557，554，551，…，500，497，共有（560－497）÷3＋1＝22项）
3）6×17＝102（等差数列204，198，192，…，12，6，共有（204－6）÷6＋1＝34项）
上一讲中，我们学习了什么是等差数列，等差数列的求和公式，以及求项数、末项的公式。这一讲，我们介绍如何利用这些公式，解决与等差数列有关的问题。
例1] 求所有被2除余数是1的三位数的和。
分析] 首先应分析一下被2除余数是1的三位数是哪些数。能被2整除的三位数中最小的是100，所以被2除余数是1的三位数中最小的是101。采用同样的办法可知，三位数中最大的被2除余1的数是999，而且这样的三位数前后两数都差2，因此它们构成一个等差数列，故可以利用等差数列求和公式求和。
解] 所求的三位数的和是101＋103＋105＋…＋999
项数＝（999－101）÷2＋1
和 ＝（101＋999）×450÷2
答：所有被2除余数是1的三位数的和是247500
由例1可以看出，解这种类型题目的关键是根据题意正确地找出满足条件的数列，然后求和。
例2] 1至100内所有不能被5或9整除的数的和是多少？
分析与解] 如果要直接找出1至100内所有不能被5或9整除的数比较麻烦，因此我们采用间接的办法来解。可以先分别找出能被5或9整除的数，并求出它们的和，然后再从1＋2＋3＋…＋100的和中减去它们的和，即为所求的解。
1至100内所有能被5整除的数是5，10，15，…，100，这个等差数列的项数＝（100－5）÷5＋1＝95÷5＋1＝20，因此。
1至100内所有能被9整除的数是9，18，27，…，99，这个等差数列的项数＝（99－9）÷9＋1＝11，因此，9＋18＋27＋…＋99＝（9＋99）×11÷2
应该注意到，1至100内45，90这两个数既能被5整除，又能被9整除，因此在上面两个数列的求和中都有这两个数。所以，1至100内所有不能被5或9整除的数的和是：
由例2可以看出，解这种类型的题目时，如果直接找数列比较困难，那么可以采用间接的方法求解。另外，解题时分析思考要周密细致，列算式时不要重复，也不要遗漏。
例3] 用3根等长的火柴棍摆成一个等边三角形，用这样的等边三角形，按图4－1所示铺满一个大的等边三角形，如果这个大的等边三角形的底边放10根火柴，那么这个大的等边三角形中一共要放多少根火柴？
分析与解] 如果把图中最上端的一个三角形看作第一层，与第一层紧相连的3个三角形（向上的三角形2个；向下的三角形1个）看作第二层，那么这个图中一共有10层三角形。
这10层三角形每层所需火柴根数，自上而下依次为：3，6，9，…，3×10。它们成等差数列，且首项为3，公差为3，项数为10。求火柴的总根数，也就是求这个等差数列各项的和，即。
165（根）
所以，一共要放165根火柴。
例4] 15个连续奇数的和是1995，其中最大的奇数是多少？
分析与解] 我们先来看一个简单的五个连续奇数求和的情况。例如，3＋5＋7＋9＋11＝35
可以看出，用这五个连续奇数的中间一项7乘以项数5也可以得到和为35。反过来，用和35除以项数5就可以得到它们的中间项7。
根据这一经验，对于例4，已知15个连续奇数的和是1995，可求得这个等差数列的中间一项是1995÷15＝133。
现在如果把中间一项看作是第1项，那么原来的末项，即第15项就是现在的第8项。这一项，也就是最大的奇数为：
思考] 仿照此例题的解法，求这15个连续奇数中最小的奇数。
例5] 盒子里放有1只球，一位魔术师第一次从盒子里将这1只球拿出，变成4只球后放回盒子里；第二次又从盒子里拿出2只球，将每只球各变成4只球后放回盒子里……第十次从盒子里拿出10只球，将每只球各变成4只球后放回到盒子里。这时盒子里共有多少只球？
分析与解] 一只球变成4只球，实际上多了3只球。第一次多了3×1只球，第二次多了3×2只球……第十次多了3×10只球。
因此拿了10次后，多了。
165（只）
加上原有的1只球，盒子里共有球165＋1＝166（只）。
例6] 有10个朋友聚会，见面时如果每人和其余的每个人只握一次手，那么10个人共握手多少次？
分析] 设10个人分别为，我们从开始按顺序分析：
这9个人的每个人握手1次，共握手9次；
由于已和握过手，所以只能和这8个人的每个人握手1次，共握手8次；
四年级奥数 2 简单的数列求和
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