第三部分行程问题。
第一讲行程基础。
专题知识点概述】
行程问题是一类常见的重要应用题，在历次数学竞赛中经常出现。行程问题包括：相遇问题、追及问题、火车过桥问题、流水行船问题、环形行程问题等等。
行程问题思维灵活性大，辐射面广，但根本在于距离、速度和时间三个基本量之间的关系，即：距离速度时间，时间距离速度，速度距离时间。在这三个量中，已知两个量，即可求出第三个量。
掌握这三个数量关系式，是解决行程问题的关键。在解答行程问题时，经常采取画图分析的方法，根据题意画出线段图，来帮助我们分析、理解题意，从而解决问题。
一、行程基本量。
我们把研究路程、速度、时间以及这三者之间关系的一类问题，总称为行程问题。我们已经接触过一些简单的行程应用题，行程问题主要涉及时间（t）、速度（v）和路程（s）这三个基本量，它们之间的关系如下：
1）速度×时间=路程可简记为：s = vt
2）路程÷速度=时间可简记为：t = s÷v
3）路程÷时间=速度可简记为：v = s÷t
显然，知道其中的两个量就可以求出第三个量。
二、平均速度。
平均速度的基本关系式为：
平均速度总路程总时间；
总时间总路程平均速度；
总路程平均速度总时间。
重点难点解析】
1. 行程三要素之间的关系。
2．平均速度的概念。
3．注意观察运动过程中的不变量。
竞赛考点挖掘】
1.注意观察运动过程中的不变量。
习题精讲】例1】（难度等级 ※）
邮递员早晨7时出发送一份邮件到对面山里，从邮局开始要走12千米上坡路，8千米下坡路。他上坡时每小时走4千米，下坡时每小时走5千米，到达目的地停留1小时以后，又从原路返回，邮递员什么时候可以回到邮局？
分析与解】
法一：先求出去的时间，再求出返回的时间，最后转化为时刻。①邮递员到达对面山里需时间：
12÷4+8÷5=4.6(小时);②邮递员返回到邮局共用时间：8÷4+12÷5+1+4.
6 =2+2.4+1+4.6 = l0(小时)③邮递员回到邮局时的时刻是：
7+10-12=5(时).邮递员是下午5时回到邮局的。
法二：从整体上考虑，邮递员走了（12+8）千米的上坡路，走了（12+8）千米的下坡路，所以共用时间为：（12+8）÷4+（12+8）÷5+1=10(小时)，邮递员是下午7+10-12=5(时) 回到邮局的。
．例2】（难度等级 ※）
甲、乙两地相距100千米。下午3点，一辆马车从甲地出发前往乙地，每小时走10千米；晚上9点，一辆汽车从甲地出发驶向乙地，为了使汽车不比马车晚到达乙地，汽车每小时最少要行驶多少千米？.
分析与解】
马车从甲地到乙地需要100÷10=10小时，在汽车出发时，马车已经走了9-3=6(小时)。依题意，汽车必须在10-6=4小时内到达乙地，其每小时最少要行驶100÷4=25(千米)．
例3】（难度等级 ※※
小明每天早晨6：50从家出发，7：20到校，老师要求他明天提早6分钟到校。
如果小明明天早晨还是6：50从家出发，那么，每分钟必须比往常多走25米才能按老师的要求准时到校。问：
小明家到学校多远？（第六届《小数报》数学竞赛初赛题第1题）
分析与解】原来花时间是30分钟，后来提前6分钟，就是路上要花时间为24分钟。这时每分钟必须多走25米，所以总共多走了24×25=600米，而这和30分钟时间里，后6分钟走的路程是一样的，所以原来每分钟走600÷6=100米。总路程就是=100×30=3000米。
例4】（难度等级 ※）
韩雪的家距离学校480米，原计划7点40从家出发8点可到校，现在还是按原时间离开家，不过每分钟比原来多走16米，那么韩雪几点就可到校？
分析与解】原来韩雪到校所用的时间为20分钟，速度为：480÷20=24（米/分），现在每分钟比原来多走16米，即现在的速度为24+16=40（米/分），那么现在上学所用的时间为：480÷40=12（分钟），7点40分从家出发，12分钟后，即7点52分可到学校．
例5】（难度等级 ※※
王师傅驾车从甲地开往乙地交货。如果他往返都以每小时60千米的速度行驶，正好可以按时返回甲地。可是，当到达乙地时，他发现从甲地到乙地的速度只有每小时50千米。
如果他想按时返回甲地，他应以多大的速度往回开？
分析与解】
假设甲地到乙地的路程为300,那么按时的往返一次需时间300÷60×2=10（小时）,现在从甲到乙花费了时间300÷50=6（小时）,所以从乙地返回到甲地时所需的时间只能是10-6=4（小时）.即如果他想按时返回甲地，他应以300÷4=75（千米/时）的速度往回开．
例6】（难度等级 ※※
刘老师骑电动车从学校到韩丁家家访，以10千米/时的速度行进，下午1点到；以15千米/时的速度行进，上午11点到。如果希望中午12点到，那么应以怎样的速度行进？
分析与解】
这道题没有出发时间，没有学校到韩丁家的距离，也就是说既没有时间又没有路程，似乎无法求速度。这就需要通过已知条件，求出时间和路程。
假设有a，b两人同时从学校出发到韩丁家，a每小时行10千米，下午1点到；b每小时行15千米，上午11点到。b到韩丁家时，a距韩丁家还有10×2=20（千米），这20千米是b从学校到韩丁家这段时间b比a多行的路程。因为b比a每小时多行15-10=5（千米），所以b从学校到韩丁家所用的时间是。
20÷（15-10）=4（时）.由此知，a，b是上午7点出发的，学校离韩丁家的距离是15×4=60（千米）.刘老师要想中午12点到，即想（12-7=）5时行60千米，刘老师骑车的速度应为。
60÷（12-7）=12（千米/时）．
例7】（难度等级 ※※
小红上山时每走30分钟休息10分钟，下山时每走30分钟休息5分钟。已知小红下山的速度是上山速度的2倍，如果上山用了3时50分，那么下山用了多少时间？
分析与解】上山用了3时50分，即60×3+50=230（分），由230÷（30+10）=5……30，得到上山休息了5次，走了230-10×5=180（分）.因为下山的速度是上山的2倍，所以下山走了180÷2=90（分）.由90÷30=3知，下山途中休息了2次，所以下山共用90+5×2=100（分）=1时40分。
例8】（难度等级 ※※
老王开汽车从a到b为平地（见右图），车速是30千米／时；从b到c为上山路，车速是22.5千米／时；从c到d为下山路，车速是36千米／时。 已知下山路是上山路的2倍，从a到d全程为72千米，老王开车从a到d共需要多少时间？
分析与解】设上山路为x千米，下山路为2x千米，则上下山的平均速度是：（x+2x）÷（x÷22.5+2x÷36）=30（千米/时），正好是平地的速度，所以行ad总路程的平均速度就是30千米/时，与平地路程的长短无关。
因此共需要72÷30＝2.4（时）．
例9】（难度等级 ※※
汽车以72千米/时的速度从甲地到乙地，到达后立即以48千米/时的速度返回甲地。求该车的平均速度。
分析与解】想求汽车的平均速度=汽车行驶的全程÷总时间 ，在这道题目中如果我们知道汽车行驶的全程，进而就能求出总时间，那么问题就迎刃而解了。在此我们不妨采用“特殊值”法，这是奥数里面非常重要的一种思想，在很多题目中都有应用。①把甲、乙两地的距离视为1千米，总时间为：
1÷72+1÷48，平均速度=2÷（1÷72+1÷48）=57.6千米/时。 ②我们发现①中的取值在计算过程中不太方便，我们可不可以找到一个比较好计算的数呢？
在此我们可以把甲、乙两地的距离视为[72，48]=144千米，这样计算时间时就好计算一些，平均速度=144×2÷（144÷72+144÷48）=57.6千米/时。
例10】（难度等级 ※※
如图，从a到b是12千米下坡路，从b到c是8千米平路，从c到d是4千米上坡路。小张步行，下坡的速度都是6千米/小时，平路速度都是4千米/小时，上坡速度都是2千米/小时。问小张从a到d的平均速度是多少？
分析与解】
从a到b的时间为：12÷6=2（小时），从b到c的时间为：8÷4=2（小时），从c到d的时间为：
4÷2=2（小时），从a到d的总时间为：2+2+2=6（小时），总路程为：12+8+4=24（千米），那么从a到d 的平均速度为：
24÷6=4（千米/时）．
例11】（难度等级 ※※
有一座桥，过桥需要先上坡，再走一段平路，最后下坡，并且上坡、平路及下坡的路程相等。某人骑自行车过桥时，上坡、走平路和下坡的速度分别为米/秒、米/秒和米/秒，求他过桥的平均速度。
分析与解】
假设上坡、走平路及下坡的路程均为24米，那么总时间为：24÷4+24÷6+24÷8=13（秒），过桥的平均速度为米/秒）．
例12】（难度等级 ※※
汽车往返于a，b两地，去时速度为40千米／时，要想来回的平均速度为48千米／时，回来时的速度应为多少？
分析与解】
假设ab两地之间的距离为480÷2=240千米，那么总时间=480÷48=10（小时），回来时的速度=240÷（10-240÷40）=60（千米/时）．
例13】（难度等级 ※※
有一座桥，过桥需要先上坡，再走一段平路，最后下坡，并且上坡、平路及下坡的路程相等。某人骑电动车过桥时，上坡、走平路和下坡的速度分别为11米／秒、22米／秒和33米／秒，求他过桥的平均速度。
分析与解】假设上坡、平路及下坡的路程均为66米，那么总时间=66÷11+66÷22+66÷33=6+3+2=11（秒），过桥的平均速度=66×3÷11=18（米/秒）
例14】（难度等级 ※※
一只蚂蚁沿等边三角形的三条边由a点开始爬行一周。 在三条边上它每分钟分别爬行50cm，20cm，40cm（如右图）.它爬行一周平均每分钟爬行多少厘米？
分析与解】假设每条边长为200厘米，则总时间=200÷50+200÷20+200÷40=4+10+5=19（分钟），爬行一周的平均速度=200×3÷19=（厘米/分钟）.
例15】（难度等级 ※※
甲、乙两地相距6千米，某人从甲地步行去乙地，前一半时间平均每分钟行80米，后一半时间平均每分钟行70米。问他走后一半路程用了多少分钟？
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