第一章探索勾股定理复习
教学目标。知识与技能：掌握直角三角形的边、角之间分别存在着的关系，熟练地运用直角三角形的勾股定理和其他性质解决实际问题。
过程与方法：正确使用勾股定理的逆定理，准确地判断三角形的形状。
情感态度价值观：熟悉勾股定理的历史，进一步了解我国古代数学的伟大成就，激发学生的爱国热情，培养探索知识的良好习惯。
教学重点：掌握勾股定理及其逆定理。
教学难点：准确应用勾股定理及其逆定理。
一）基本知识回顾：
1. 直角三角形的边，角之间分别存在着什么关系？
答：角的关系：锐角互余，即∠a+∠b=90°
边的关系：两直角边的平方和等于斜边的平方。
直角三角形还有哪些性质？
2. 如何判断一个三角形是直角三角形？
①有一个角是直角。
如果三角形的三边长a、b、c，满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数。
3、最短距离：将立体图形展开，利用直角三角形的勾股定理求出最短距离（斜边长）。
注意：（1）勾股数是一组数据，必须满足两个条件：①满足；②三个数都为正整数。
2）11～20十个数的平方值：
二）专题总结。
1、 勾股定理的应用。
勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用有：
1）已知直角三角形的两边求第三边。
（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系。求直角三角形的另两边。
（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题。
例 1、已知：一个直角三角形的两直角边长分别是3cm和4cm，求：第三边的长。
例 2、已知：一个直角三角形的两边长分别是3cm和4cm,求第三边得长。
课堂训练。1、已知△abc中，∠c=90°，若c=34，a:b=8:15，则a= ，b= .
2、如图，求下列直角三角形中未知边的长度。
xx3、已知直角三角形两直角边分别为5,12,则三边上的高为___
题型二勾股定理逆定理的应用。
如何判定一个三角形是直角三角形：
1 先确定最大边（如c）；
② 验证与是否具有相等关系。
若=，则△abc是以∠c为直角的直角三角形；
若≠，则△abc不是直角三角形。
例3、若三角形的三边长依次为15，39，36，求这个三角形的面积。
例4、如图，在四边形abcd中，∠c=90°，ab=13，bc=4，cd=3，ad=12，求证：ad⊥bd．
题型三展开图与折叠问题。
例5、一只蚂蚁从棱长为1的正方体纸箱的b’点沿纸箱爬到d点，那么它所行的最短路线的长是。
例6、如图，有一个直角三角形纸片，两直角边ac=6，bc=8，现将直角边ac沿直线ad折叠，使其落在斜边ab上，且与ae重合，则cd的长为。
例7、如图，在矩形中，将矩形折叠，使点b与点d重合，落在处，若，则折痕ad的长为。
第二章：实数。
本章的知识网络结构：
知识梳理。一．数的开方主要知识点：
1】平方根：如果一个数x的平方等于a，那么，这个数x就叫做a的平方根；也即，当时，我们称x是a的平方根，记做：。因此：
当a=0时，它的平方根只有一个，也就是0本身；
当a＞0时，也就是a为正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常记做：。
当a＜0时，也即a为负数时，它不存在平方根。
例1.1） 的平方是64，所以64的平方根是 ；
2） 的平方根是它本身。
3）若的平方根是±2，则x= ；的平方根是
4）当x时，有意义。
5）一个正数的平方根分别是m和m-4，则m的值是多少？这个正数是多少？
算术平方根】：
（1）如果一个正数x的平方等于a，即，那么，这个正数x就叫做a的算术平方根，记为：“”读作，“根号a”，其中，a称为被开方数。特别规定：0的算术平方根仍然为0。
2）算术平方根的性质：具有双重非负性，即：。
3）算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：
；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：。
例2.1）下列说法正确的是。
a．1的立方根是； b．；（c）、的平方根是；（ d没有平方根；
2）下列各式正确的是（ ）
a、 b、 c、 d、
3）的算术平方根是。
4）若有意义，则。
5）已知△abc的三边分别是且满足，求c的取值范围。
6）（提高题）如果x、y分别是4－的整数部分和小数部分。求x － y的值。
立方根】（1）如果x的立方等于a，那么，就称x是a的立方根，或者三次方根。记做：，读作，3次根号a。
注意：这里的3表示的是开根的次数。一般的，平方根可以省写根的次数，但是，当根的次数在两次以上的时候，则不能省略。
2）平方根与立方根：每个数都有立方根，并且一个数只有一个立方根；但是，并不是每个数都有平方根，只有非负数才能有平方根。
例3.1）64的立方根是。
2）若，则b等于（ ）
a. 1000000 b. 1000 c. 10 d. 10000
3）下列说法中：①都是27的立方根，②，的立方根是2，④。其中正确的有。
a、1个 b、2个 c、3个 d、4个。
无理数】（1）无限不循环小数的小数叫做无理数；它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条件。在初中阶段，无理数的表现形式主要包含下列几种：（1）特殊意义的数，如：
圆周率以及含有的一些数，如：2-，3等；（2）开方开不尽的数，如：等；（3）特殊结构的数：
如：2.010 010 001 000 01…（两个1之间依次多1个0）等。
应当要注意的是：带根号的数不一定是无理数，如：等；无理数也不一定带根号，如：
2） 有理数与无理数的区别：（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；（2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数形式。
例4.（1）下列各数：①3.
141、②0.333330.3030003000003……（相邻两个3之间0的个数逐次增加2）、其中是有理数的有＿＿＿是无理数的有＿＿＿填序号）
2）有五个数：0.125125…,0.1010010001…,-其中无理数有 ( 个。
a 2 b 3 c 4 d 5
实数】1）有理数与无理数统称为实数。在实数中，没有最大的实数，也没有最小的实数；绝对值最小的实数是0，最大的负整数是-1。
2）实数的性质：实数a的相反数是-a；实数a的倒数是（a≠0）；实数a的绝对值|a|=，它的几何意义是：在数轴上的点到原点的距离。
3）实数的大小比较法则：实数的大小比较的法则跟有理数的大小比较法则相同：即正数大于0，0大于负数；正数大于负数；两个正数，绝对值大的就大，两个负数，绝对值大的反而小。
（在数轴上，右边的数总是大于左边的数）。对于一些带根号的无理数，我们可以通过比较它们的平方或者立方的大小。
4）实数的运算：在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方、开方六种运算。运算法则和运算顺序与有理数的一致。
例5.1）下列说法正确的是（ ）
a、任何有理数均可用分数形式表示 ； b、数轴上的点与有理数一一对应 ；
c、1和2之间的无理数只有 ； d、不带根号的数都是有理数。
2）a，b在数轴上的位置如图所示，则下列各式有意义的是( )
ab、 c、 d、
3）比较大小(填“>”或“<”
4）数的大小关系是 (
ab. cd.
5）将下列各数：，用“＜”连接起来。
6）若，且，则。
7）计算：8）已知：，求代数式的值。
6.（提高题）观察下列等式：回答问题：
1）根据上面三个等式的信息，请猜想的结果；
2）请按照上式反应的规律，试写出用n表示的等式，并加以验证。
第三章《位置与坐标》回顾与思考。
一、学习目标。
1． 从现实生活中体会确定位置的不同方式与方法，感受确定位置的多样性；
2． 掌握利用直角坐标系确定位置的方法；
3． 会用平面直角坐标系来解决一些简单的实际问题；
二、学习过程。
活动1 知识梳理。
1、在平面内，确定点的位置一般需要几个数据？举例说明。
2、平面直角坐标系中，如何确定给定点的坐标？给定坐标，如何确定对应的点？分别举例说明。
3、平面直角坐标系中，坐标轴上的点具有什么特点？平行于坐标轴的线段上的点，它们的坐标之间有什么样的关系？分别举例说明。
4．平面直角坐标系中，关于坐标轴对称的点的坐标之间具有怎样的关系？反过来坐标具有这样的关系的点关于坐标轴对称吗？这些结论可以帮助你解决哪些问题？
1、考点讲解：
考点1：直角坐标系。
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八年级上册数学复习卷
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