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综合试题一。
第i卷（选择题)
一、单选题。
1．等差数列的首项为1，公差不为0，若成等比数列，则前6项的和为（ ）
a． b． c． d．8
2．已知双曲线的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点，则的方程为。
a． b．c． d．
3．在矩形abcd中，ab=1，ad=2，动点p在以点c为圆心且与bd相切的圆上．若= +则+的最大值为。
a．3 b．2 c． d．2
4．已知直三棱柱中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
a． b． c． d．
5．已知是边长为4的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是。
a． b． c． d．
6．过抛物线c:y2=4x的焦点f，且斜率为的直线交c于点m（m在x轴上方），l为c的准线，点n在l上且mn⊥l,则m到直线nf的距离为
a. b. c. d.
7．在△中，为边上的中线，为的中点，则。
a． b．c． d．
8．设抛物线c：y2=4x的焦点为f，过点（–2，0）且斜率为的直线与c交于m，n两点，则=
a．5 b．6 c．7 d．8
9．已知双曲线c：，o为坐标原点，f为c的右焦点，过f的直线与c的两条渐近线的交点分别为m、n.若omn为直角三角形，则|mn|=
a． b．3 c． d．4
10．在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为。
a． b． c． d．
11．已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为。
a． b． c． d．
12．若在等差数列中，，则等于（ ）
a．45 b．75 c．180 d．360
第ii卷（非选择题)
请点击修改第ii卷的文字说明。
二、填空题。
13．设等比数列满足a1 + a2 = 1, a1 – a3 = 3，则a4
14．已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点．若为的中点，则。
15．已知向量a=（﹣1，2），b =（m，1），若向量a+ b与a垂直，则m
16．a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形abc的直角边ac所在直线与a，b都垂直，斜边ab以直线ac为旋转轴旋转，有下列结论：
当直线ab与a成60°角时，ab与b成30°角；
当直线ab与a成60°角时，ab与b成60°角；
直线ab与a所成角的最小值为45°；
直线ab与a所成角的最大值为60°.
其中正确的是填写所有正确结论的编号）
三、解答题。
17．已知等差数列的前n项和为sn，等比数列的前n项和为tn，a1=-1，b1=1，.
1） 若 ，求的通项公式；
2）若，求。
18．设o为坐标原点，动点m在椭圆c 上，过m作x轴的垂线，垂足为n，点p满足。
1） 求点p的轨迹方程；
2)设点在直线x=-3上，且。证明过点p且垂直于oq的直线l过c的左焦点f.
19．（题文）（题文）（2017新课标全国ⅲ理科）如图，四面体abcd中，△abc是正三角形，△acd是直角三角形，∠abd=∠cbd，ab=bd．
1）证明：平面acd⊥平面abc；
2）过ac的平面交bd于点e，若平面aec把四面体abcd分成体积相等的两部分，求二面角d–ae–c的余弦值。
20．已知抛物线c：y2=2x，过点（2,0）的直线l交c于a,b两点，圆m是以线段ab为直径的圆。
1）证明：坐标原点o在圆m上；
2）设圆m过点，求直线l与圆m的方程。
21．如图，四棱锥p-abcd中，侧面pad是边长为2的等边三角形且垂直于底， 是的中点。
1）证明：直线平面；
2）点在棱上，且直线与底面所成角为，求二面角的余弦值。
22．（2017新课标全国ⅱ文科）设o为坐标原点，动点m在椭圆c上，过m作x轴的垂线，垂足为n，点p满足。
1）求点p的轨迹方程；
2）设点在直线上，且。证明：过点p且垂直于oq的直线过c的左焦点f.
参***。1．a
解析】∵等差数列的首项为1,公差不为成等比数列，a23=a2a6，(a1+2d)2=(a1+d)(a1+5d),且a1=1，d≠0，解得d=2，前6项的和为 .
本题选择a选项。
点睛：(1)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．
2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．
2．b解析】双曲线c： (a＞0,b＞0)的渐近线方程为，椭圆中： ，故双曲线c的焦点坐标为，据此可得双曲线中的方程组： ，解得，则双曲线的方程为。
故选b.名师点睛】求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法。具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值。
如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为，再由条件求出λ的值即可。
3．a解析】如图所示，建立平面直角坐标系。
设，易得圆的半径，即圆c的方程是，若满足，则 ，，所以，设，即，点在圆上，所以圆心到直线的距离，即，解得，所以的最大值是3，即的最大值是3，故选a.
名师点睛】（1）应用平面向量基本定理表示向量是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算。
2）用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决。
4．c解析】如图所示，补成直四棱柱，则所求角为，易得，因此，故选c．
平移法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：
平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；
认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；
计算：求该角的值，常利用解三角形；
取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围．
5．d解析】
详解】以bc中点为坐标原点，建立如图所示的坐标系，则a（0，2），b（﹣2，0），c（2，0），设p（x，y），则=（﹣x，2﹣y），（2﹣x，﹣y），（2﹣x，﹣y），所以（+）x（﹣2x）+（2﹣y）（﹣2y）
2x2﹣4y+2y2
2[x2+（y﹣）2﹣3]；
所以当x=0，y=时，（+取得最小值为2×（﹣3）=﹣6．
故选：d．6．c
解析】由题知，与抛物线联立得，解得。
所以，因为，所以，因为，所以。
所以到的距离为。
7．a解析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后应用向量的加法运算法则---三角形法则，得到，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果。
详解：根据向量的运算法则，可得，所以，故选a.
点睛：该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算。
8．d解析】分析：首先根据题中的条件，利用点斜式写出直线的方程，涉及到直线与抛物线相交，联立方程组，消元化简，求得两点，再利用所给的抛物线的方程，写出其焦点坐标，之后应用向量坐标公式，求得，最后应用向量数量积坐标公式求得结果。
详解：根据题意，过点（–2，0）且斜率为的直线方程为，与抛物线方程联立，消元整理得：，解得，又，所以，从而可以求得，故选d.
点睛：该题考查的是有关直线与抛物线相交求有关交点坐标所满足的条件的问题，在求解的过程中，首先需要根据题意确定直线的方程，之后需要联立方程组，消元化简求解，从而确定出，之后借助于抛物线的方程求得，最后一步应用向量坐标公式求得向量的坐标，之后应用向量数量积坐标公式求得结果，也可以不求点m、n的坐标，应用韦达定理得到结果。
9．b解析】分析：首先根据双曲线的方程求得其渐近线的斜率，并求得其右焦点的坐标，从而得到，根据直角三角形的条件，可以确定直线的倾斜角为或，根据相关图形的对称性，得知两种情况求得的结果是相等的，从而设其倾斜角为，利用点斜式写出直线的方程，之后分别与两条渐近线方程联立，求得，利用两点间距离同时求得的值。
详解：根据题意，可知其渐近线的斜率为，且右焦点为，从而得到，所以直线的倾斜角为或，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为，可以得出直线的方程为，分别与两条渐近线和联立，求得，所以，故选b.
点睛：该题考查的是有关线段长度的问题，在解题的过程中，需要先确定哪两个点之间的距离，再分析点是怎么来的，从而得到是直线的交点，这样需要先求直线的方程，利用双曲线的方程，可以确定其渐近线方程，利用直角三角形的条件得到直线的斜率，结合过右焦点的条件，利用点斜式方程写出直线的方程，之后联立求得对应点的坐标，之后应用两点间距离公式求得结果。
10．c解析】
分析：先建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量数量积求向量夹角，再根据向量夹角与线线角相等或互补关系求结果。
详解：以d为坐标原点，da,dc,dd1为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则，所以，因为，所以异面直线与所成角的余弦值为，选c.
点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.
11．d解析】
分析：先根据条件得pf2=2c,再利用正弦定理得a,c关系，即得离心率。
详解：因为为等腰三角形，，所以pf2=f1f2=2c,由斜率为得，由正弦定理得，所以，选d.
点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等。
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