《经济数学基础》作业（二）讲评。
一）填空题。
1.若，则。答案：
分析：本题主要是考察原函数的概念，由不定积分知，f(x)是f(x)的导数，而f(x)是f(x)的一个原函数，所以，已知f(x)求其原函数是对f(x)求积分，已知f(x)求f(x)，是对等式右端求导数。
正确解答：
2. .答案：
解： 分析：本题主要考察导数（微分）与不定积分互为逆运算的性质。
可能出现的错误：，没有用性质进行求解。，注意，我们的性质是先积分后求导结果为一个函数，即被积函数，先求导再积分结果为无穷多函数，即被积函数加任意常数c。
分析：本题主要考察不定积分是函数，其对应关系可看成。
其次考察凑微分这里的，本题也是2023年1月的考题。
思考一下，下面的例题结果是怎么求出的？
4.设函数。答案：0
分析：定积分是确定的数值，所以对定积分求导数，结果为0。
可能出现的错误：①计算定积分。当然能做，但计算量要大的多，其结果还是0，所以要明白定积分的结果是“数值”，而常数的导数为0.，将不定积分的性质用到这里。
5. 若，则。答案：
分析：本题主要考查变上限定积分的概念，即变上限定积分结果是被积函数的原函数，所以，对变上限定积分求导数结果应是被积函数再乘以上限的导数。同时，应注意：
交换积分上下限，其结果应变号。
二）单项选择题。
1. 下列函数中，（ 是xsinx2的原函数．
a． cosx2b．2cosx2c．-2cosx2d．-cosx2
答案：d 分析：这道题目是求四个被选函数哪个是的原函数，即哪个函数的导数为。
正确解答：因为，所以是的原函数，即答案d正确。
选择a，错误；因为；
选择b，错误；因为；
选择c，错误；因为；
2. 下列等式成立的是。
ab． cd．
答案：c分析：本题主要考查的是一些常见凑微分的类型：
有意识记住以上类型，对下面的作业题（不定积分的计算）就容易掌握了。
3. 下列不定积分中，常用分部积分法计算的是。
a．， b． c． d．
答案：c分析：a,b,d都是凑微分（第一换元法），对这种常见且基本的积分计算题要熟练掌握，是考试的重点。
而c是分部积分，同样，对这种常见且基本的积分计算题要熟练掌握，被积函数是幂函数与三角函数乘积的积分、幂函数与指数函数乘积的积分、幂函数与对数函数乘积的积分是考试的重点。
4. 下列定积分计算正确的是。
ab． cd．
答案：d分析：由定积分的几何意义我们有重要推论：奇函数在对称区间的定积分结果为0，故d对。
5. 下列无穷积分中收敛的是。
a． b． c． d．
答案：b分析：利用无穷积分的定义计算。
正确解答：，收敛。所以b正确。
请记住结论：（1），当收敛，当时发散；
2）和，，发散；
3）当发散，收敛；当发散，收敛。
如果能够记住上述结论，就可以直接判断而免去计算。
(三)解答题。
1.计算下列不定积分。
分析：熟练掌握基本积分公式是学好这部分内容的基础，且要注意把公式中的x 当成u来背，熟练掌握基本积分方法：直接积分法（用公式和性质）；第一换元法（凑微分）；分部积分法。
1） 答案。
分析：将被积函数变形为，利用积分公式求解，这里。
正确解法： （利用对数的性质，
可能出现的错误：①不能将被积函数看成为，因此不知用什么公式求积分；
用错公式，.
2） 答案：
分析：注意利用不定积分性质去做，即分项积分最简单，这里还要注意把，计算速度就会加快。
3） 答案：
4） 答案：
分析：这是一个复合函数的积分计算，采用的方法是凑微分法。这里，则，于是，代入积分式中进行换元，再对直接用公式求积分。
正确解法： =
可能出现的错误：①不能正确地找出微分因子；
用错积分公式，如=
5） 答案：
6） 答案：
7） 答案：
8） 答案：
分析：这是用分部积分法计算积分的题目，且。
注意这里用到了“在分子加1减1”的技巧。
2.计算下列定积分。
1） 答案： 解： =
分析：注意到被积函数是一个带有绝对值的函数，积分时必须把绝对值符号去掉，根据绝对值函数的定义，就要看看在积分区间是否有变号（即由正变负或由负变正）的情况。
因为，即是使函数改变符号的点，因此利用积分区间的可加性此定积分分为两个积分的和，即。
可能发生的错误：①=这是将等同于，需要指出的是，定积分中的积分变量是与积分区间有关的，积分区间的不同，可能被积函数的表达式就不同，此题就是一个典型的例子；②计算错误。
2） 答案：
3） 答案：2
分析：这是一个换元积分法求积分的题目，其中，，设法将积分函数变为，然后对求积分即可。
此法没有换元，所以就不用换限）
方法二：换元换限，令，当时，当时，于是。
注意，①定积分的换元积分法进行计算时，换元一定要换限，积分变量要和自己的积分限相对应，此题中，变量的区间是，而变量的积分区间是。
在换元换限时， 新积分变量的上限对应于旧积分变量的上限， 新积分变量的下限对应于旧积分变量的下限， 当以新的变量求得原函数时可直接代入新变量的积分上、下限求积分值即可无须在还原到原来变量求值。
可能出现的错误：①换元不换限；
计算错误，如，正确的是：；
公式用错，没有把视为。
4） 答案：
解： =分析：这是用分部积分法计算积分的题目，且，得出。
可能出现的错误：①由得出，注意是的一个原函数，当你写出时，要求导，验证一下是否正确。
三角函数值计记错；正确的是，；
5） 答案：
分析：这是幂函数与对数函数乘积的积分，一定要记住公式：
例：直接看成分部积分公式去做。
6） 答案：
分析；做完上述作业，要熟练掌握基本积分方法，特别是第一换元积分法(凑微分)和分部积分，这是我们教学和考试的重点。下面是近年考题，由此看出作业的重要性（有的就是作业题，有的与作业大同小异）。
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