积分学部分综合练习。
一、单选题。
1．下列等式不成立的是（ ）正确答案：d
ab． cd．
2．若，则=（ 正确答案：d
a. b. c. d.
注意：主要考察原函数和二阶导数。
3．下列不定积分中，常用分部积分法计算的是（ ）正确答案：c
ab． cd．
4. 若，则f (x正确答案：c
abcd．-
5. 若是的一个原函数，则下列等式成立的是( )正确答案：b
ab． cd．
6．下列定积分中积分值为0的是（ ）正确答案：a
ab． cd．
7．下列定积分计算正确的是（ ）正确答案：d
ab． cd．
8．下列无穷积分中收敛的是正确答案：c
a． bc． d．
9．无穷限积分=（ 正确答案：c
a．0bcd.
二、填空题。
1应该填写：
注意：主要考察不定积分与求导数（求微分）互为逆运算，一定要注意是先积分后求导（微分）还是先求导（微分）后积分。
2．函数的原函数是应该填写：-cos2x + c
3．若存在且连续，则应该填写：
注意：本题是先微分再积分最后在求导。
4．若，则 . 应该填写：
5．若，则应该填写：
注意： 6应该填写：0
注意：定积分的结果是“数值”，而常数的导数为0
7．积分应该填写：0
注意：奇函数在对称区间的定积分为0
8．无穷积分是应该填写：收敛的。
三、计算题（以下的计算题要熟练掌握！这是考试的10分类型题）
1解： =2．计算解：
3．计算解：
4．计算解：
5．计算。解： =
6．计算解： =
7． 解： =
8解： =9解：
注意：熟练解答以上各题要注意以下两点。
1）常见凑微分类型一定要记住。
2）分部积分：，常考的有三种类型要清楚。
四、应用题（以下的应用题必须熟练掌握！这是考试的20分类型题）
1． 投产某产品的固定成本为36(万元)，且边际成本为=2x + 40(万元/百台). 试求产量由4百台增至6百台时总成本的增量，及产量为多少时，可使平均成本达到最低。
解： 当产量由4百台增至6百台时，总成本的增量为。
= 100（万元）
又。令 ， 解得。 x = 6是惟一的驻点，而该问题确实存在使平均成本达到最小的值。 所以产量为6百台时可使平均成本达到最小。
2．已知某产品的边际成本(x)=2（元/件），固定成本为0，边际收益(x)=12-0.02x，问产量为多少时利润最大？在最大利润产量的基础上再生产50件，利润将会发生什么变化？
解： 因为边际利润 =12-0.02x –2 = 10-0.02x
令= 0，得x = 500；x = 500是惟一驻点，而该问题确实存在最大值。
所以，当产量为500件时，利润最大。
当产量由500件增加至550件时，利润改变量为。
500 - 525 = 25 （元）
即利润将减少25元。
3．生产某产品的边际成本为(x)=8x(万元/百台)，边际收入为(x)=100-2x（万元/百台），其中x为产量，问产量为多少时，利润最大？从利润最大时的产量再生产2百台，利润有什么变化？
解： (x) =x) -x) =100 – 2x) –8x =100 – 10x
令(x)=0, 得 x = 10（百台）；又x = 10是l(x)的唯一驻点，该问题确实存在最大值，故x = 10是l(x)的最大值点，即当产量为10（百台）时，利润最大。
又 △即从利润最大时的产量再生产2百台，利润将减少20万元。
4．已知某产品的边际成本为(万元/百台)，为产量(百台)，固定成本为18(万元)，求最低平均成本。
解：因为总成本函数为 =
当= 0时，c(0) =18，得 c =18； 即 c
又平均成本函数为
令， 解得= 3 (百台) ，该题确实存在使平均成本最低的产量。
所以当q = 3时，平均成本最低。 最底平均成本为 (万元/百台)
5．设生产某产品的总成本函数为(万元)，其中x为产量，单位：百吨．销售x吨时的边际收入为（万元/百吨），求：(1) 利润最大时的产量；
2) 在利润最大时的产量的基础上再生产1百吨，利润会发生什么变化？
解：(1) 因为边际成本为，边际利润= 14 – 2x
令，得x = 7 ； 由该题实际意义可知，x = 7为利润函数l(x)的极大值点，也是最大值点。 因此，当产量为7百吨时利润最大。
(2) 当产量由7百吨增加至8百吨时，利润改变量为= -1（万元）
即利润将减少1万元。
《经济数学基础12》作业
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