一）填空题。
1. 设矩阵，则的元素。答案：3
3. 设均为阶矩阵，则等式成立的充分必要条件是答案：或a、b可互换。
4. 设均为阶矩阵，可逆，则矩阵的解。
答案： 5. 设矩阵，则。答案：
二）单项选择题。
1. 以下结论或等式正确的是（ ）
a．若均为零矩阵，则有。
b．若，且，则
c．对角矩阵是对称矩阵。
d．若，则
分析：注意矩阵乘法没有交换律，没有消去律，两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵，故b,d错，而两个矩阵相等必须是同形矩阵且对应元素相等，故a错，由对称矩阵的定义知，对角矩阵是对称阵，所以选c.
答案c2. 设为矩阵，为矩阵，且乘积矩阵有意义，则为（ ）矩阵。
ab． cd．
分析：由矩阵乘法定义，ac有意义，则c的行数应等于a的列数，即c的行数为4；c有意义，则c的列数应等于的行数，故c的列数应等于2，所以是矩阵。
答案a4. 下列矩阵可逆的是。
ab． cd．
分析：矩阵a可逆的充分必要条件是a是满秩矩阵，所以选a.
答案a5. 5. 矩阵的秩是。
a．0 b．1 c．2 d．3
答案c三、解答题。1．计算。
解=解。分析：两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵。
解=2．计算。解
4．设矩阵，确定的值，使最小。
5．求矩阵的秩。
所以。分析：矩阵a的阶梯形矩阵非零行的行数称矩阵的秩。
6．求下列矩阵的逆矩阵：
所以 2）a =．
解： （i+a）=+
所以 （i+a）-1
7．设矩阵，求解矩阵方程．
四、证明题。
1．试证：若都与可交换，则，也与可交换。
提示：证明，
2．试证：对于任意方阵，，是对称矩阵。
提示：证明，
3．设均为阶对称矩阵，则对称的充分必要条件是：。
提示：充分性：证明。
必要性：证明。
4．设为阶对称矩阵，为阶可逆矩阵，且，证明是对称矩阵。
提示：证明=
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