第十一章级数。
1、 判断下列各题是否正确：
(1) 若级数发散， 则否。
(2) 若级数和都发散， 则发散 , 否 .
2、 判别下列级数的收敛性：
解因为 所以级数发散
解因为级数的一般项
所以由级数收敛的必要条件可知此级数发散
解因为和都是收敛的等比级数所以级数是收敛的
解用反证法证明，若级数收敛，因为级数收敛，由级数的运算性质。
收敛，与调和级数发散矛盾。所以级数发散。
3、 用比较审敛法或极限审敛法判别下列级数的收敛性：
解因为而级数发散故所给级数发散。
解因为而级数收敛。
故所给级数收敛
解当0a1时，不满足级数收敛的必要条件这时题设级数发散。
当a1时， 而级数收敛故题设级数收敛。
所以题设级数当a1时收敛当0a1时发散
解因为 而级数收敛。
故所给级数收敛
4、 用比值审敛法判别下列级数的收敛性：
解因为所以级数收敛
解因为所以级数收敛
解因为所以级数收敛
5、 用根值审敛法判别下列级数的收敛性：
解因为所以级数收敛。
解因为所以级数收敛。
3) ，其中均为常数。
解因为所以当ba时级数收敛当ba时级数发散，敛散性不定。
6、 判别下列级数的收敛性：
解这里因为
所以级数收敛。
解因为而级数发散故所给级数发散。
解因为所以级数收敛。
7、 判别下列级数是否收敛？ 如果是收敛的， 是绝对收敛还是条件收敛？
解因为所以级数是收敛的从而原级数收敛并且绝对收敛
解级数的一般项为
因为 所以级数发散
解这是一个交错级数其中
因为并且所以此级数是收敛的
又因为，，而发散所以发散，原级数是条件收敛的
8、 求下列幂级数的收敛区间：
解故收敛半径为r1
因为当x1时幂级数成为是发散的
当x1时幂级数成为也是发散的所以收敛域为(1 1)
解故收敛半径为r1
因为当x1时幂级数成为是收敛的当x1时幂级数成为也是收敛的所以收敛域为[1 1]
解这里级数的一般项为因为由比值审敛法当x21 即|x|1时幂级数绝对收敛当x21 即|x|1时幂级数发散故收敛半径为r1
因为当x1时幂级数成为是收敛的当x1时幂级数成为也是收敛的所以收敛域为[1 1]
解故收敛半径为r1 即当1x51时级数收敛当|x5|1时级数发散
因为当x51 即x4时幂级数成为是收敛的当x51 即x6时幂级数成为是发散的所以收敛域为[4 6)
9、 利用逐项求导或逐项积分， 求下列级数的和函数：
解设和函数为s(x) 即则。
解设和函数为s(x) 即则。提示由得
解设和函数为s(x) 即。则
设和函数为s (x) 即。又设，则。
10、 将下列函数展开成的幂级数， 并求展开式成立的区间：
解因为 x( )
所以 x( )
解因为 (1x1)
所以 (axa)
解因为 x( )
所以 x( )
解因为(1x1)
所以 (1x1)
11、 将下列函数展开成的幂级数， 并求展开式成立的区间：
解因为。所以 即。
解 即 ，
12、 将函数展开成的幂级数。
解。13、 将函数展开成的幂级数。 解 而
即 即因此 14、 利用函数的幂级数展开式求数的近似值 ( 误差不超过 0.001 ).解 由于
故 因此取n4得。
15、 将函数(a b为常数且ab0) (一个周期内的表达式)展开成傅里叶级数(
解因为 (n1 2 )
(n1 2 )
所以f(x)的傅里叶级数展开式为。
16、 将函数(一个周期内的表达式)展开成傅里叶级数 .
解因为f(x)为奇函数故an0(n0 1 2 ) 而。
n1 2 )
又f(x)的间断点为x(2n1) n0 1 2 所以。
17、 将函数展开成正弦级数。
解作奇延拓得
再周期延拓f(x)到( )则当x(0 ]时f(x)f(x)
因为an0(n0 1 2 ) 而 (n1 2 )
故 (0x) 级数在x0处收敛于0
18、 将函数展开成余弦级数。
解将函数进行偶延拓则傅里叶系数为。
(n1 2 )
bn0(n1 2 )
因此函数展开成余弦级数为。
19、 将周期函数(一个周期内的表达式)展开成傅里叶级数。
解 n1 2 )
(n1 2 )
而在( )上 f(x)的间断点为 x3(2k1) k0 1 2
故 x3(2k1) k0 1 2 )
20、 将函数展开成正弦级数 .
解对f(x)进行奇延拓则函数的傅氏系数为。
a00(n0 1 2 )
(n1 2 )
故 x[0 l]
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