九年级综合练习

1、如图1，已知：抛物线与x轴交于a、b两点，与y轴交于点c，经过b、c两点的直线

1）写出b、c两点坐标，并求抛物线的解析式；

2）判断△abc的形状，并说明理由；

3）若△abc内部能否截出面积最大的矩形defg（顶点d、e、f、g在△abc各边上）？若能，求出在ab边上的矩形顶点的坐标；若不能，请说明理由．

2、已知四边形abcd中，e、f分别是ab、ad边上的点，de与cf交于点g．

1）如图①，若四边形abcd是矩形，且de⊥cf，求证；

2）如图②，若四边形abcd是平行四边形，试**：当∠b与∠egc满足什么关系时，使得成立？并证明你的结论；

3）如图③，若ba=bc=6，da=dc=8，∠bad＝90°，de⊥cf，请直接写出的值．

3、如图，p为正方形abcd边bc上任一点，bg⊥ap于点g，在ap 的延长线上取点e，使ag=ge，连接be，ce.

1）求证：；（2）的平分线交于点，连接，求证：；

4、如图所示，四边形abcd是正方形，m是ab延长线上一点，直角三角尺的一条直角边经过点d，且直角顶点e在ab边上滑动（点e不与点a，b重合），另一直角边与∠cbm的平分线bf相交于点f．

1）尝试探索。

如图1所示，当点e在ab边的中点位置时：①通过测量de，ef的长度，猜想de与ef满足的数量关系是。

2）类比延伸。

在图1中连接点e与ad边的中点n，猜想ne与bf满足的数量关系是，并证明你的猜想。

3）拓展延伸。

如图2所示，当点e在ab边上的任意位置时，请你在ad边上找到一点n，使得ne=bf，进而猜想此时de与ef有怎样的数量关系．

5、平面直角坐标系中，平行四边形aboc如图放置，点a、c的坐标分别为（0，3）、（1，0），将此平行四边形绕点o顺时针旋转90°，得到平行四边形a'b'oc'。

1）若抛物线过点c，a，a'，求此抛物线的解析式；

2）求平行四边形aboc和平行四边形a'b'oc'重叠部分△oc'd的周长；

3）点m是第一象限内抛物线上的一动点，问：点m在何处时△ama'的面积最大？最大面积是多少？并求出此时m的坐标。

6、在与水平面夹角是30°的斜坡的顶部，有一座竖直的古塔，如图是平面图，斜坡的顶部cd是水平的，在阳光的照射下，古塔ab在斜坡上的影长de为18米，斜坡顶部的影长db为6米，光线ae与斜坡的夹角为30°，求古塔的高．

7、提出问题

1）如图1，在等边△abc中，点m是bc上的任意一点（不含端点b、c），连结am，以am为边作等边△amn，连结cn. 求证：∠abc=∠acn.

类比** 2）如图2，在等边△abc中，点m是bc延长线上的任意一点（不含端点c），其它条件不变，（1）中结论∠abc=∠acn还成立吗？请说明理由。

拓展延伸。3）如图3，在等腰△abc中， ba=bc，点m是bc上的任意一点（不含端点b、c），连结am，以am为边作等腰△amn，使顶角∠amn =∠abc. 连结cn.

试**∠abc与∠acn的数量关系，并说明理由。

8、某数学兴趣小组开展了一次课外活动，过程如下：如图，正方形abcd中，ab=6，将三角板放在正方形abcd上，使三角板的直角顶点与d点重合。三角板的一边交ab于点p，另一边交bc的延长线于点q.

1）求证：dp=dq；

2）如图，小明在图的基础上做∠pdq的平分线de交bc于点e，连接pe，他发现pe和qe存在一定的数量关系，请猜测他的结论并予以证明；

3）如图，固定三角板直角顶点在d点不动，转动三角板，使三角板的一边交ab的延长线于点p，另一边交bc的延长线于点q,仍作∠pdq的平分线de交bc延长线于点e，连接pe，若ab:ap=3:4，请帮小明算出△dep的面积。

9、如图，△oab的顶点a（﹣6，0），b（0，2），o是坐标原点，将△oab绕点o按顺时针旋转90°，得到△odc．

1）写出c，d两点的坐标；

2）求过a，d，c三点的抛物线的解析式，并求此抛物线顶点e的坐标；

3）证明ab⊥be．

10、操作。

在△abc中，∠c=90°，ac=bc=2，将一块三角板的直角顶点放在斜边ab的中点p处，将此三角板绕点p旋转，三角板的两直角边分别交射线ac、cb与点d、点e，图①，②是旋转得到的三种图形．

研究。1）三角板绕点p旋转，观察线段pd和pe之间的有怎样的大小关系，并以图②为例，加以说明；

2）△pbe是否构成等腰三角形？若能，求出△pbe为等腰三角形时ce的长）；若不能请说明理由．

3）若将三角板的直角顶点放在斜边ab的p处，且ap:bp=1:3,和前面一样操作，试问线段pd和pe之间的有怎样的大小关系，并以图（3）为例，加以说明；