2023年重庆戴氏教育培训学校高一数学期末测试。
（本试卷共15个题，满分100分，考试时间60分钟）
一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1.已知复数，则= （
abcd．
2.已知集合m=，集合为自然对数的底数），则= （
ab． c． d．
3. abcd是边长为2的正方形，以bd为棱把它折成直二面角a—bd—c，e是cd的中点，则异面直线ae、bc的距离为（ ）
abc.1d
4、右面的程序框图输出的结果为（ ）
5.在(0,)内，使成立的的取值范围为 （
a.bcd.
6.已知数列{}(n=)满足，且当时，. 若， ，则符合条件的数列{}的个数是 （
a.140b.160c. 840d. 5040
7.一个总体共有600个个体，随机编号为001，002，… 600．采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003．这600个个体分三组，从001到300在第1组，从301到495在第2组，从496到600在第3组．则第3组被抽中的个数为 （
a. 7b. 8c. 9d. 10
8. 若实数x,y满足x2+y2=4,则的最小值是( )
a. 1- b. 1+ c. 3 d . 3
9. 已知分别是双曲线的左，右焦点。过点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点，且，则双曲线的离心率为（ ）
abcd)
10.在直角梯形abcd中， ，动点在以点c为圆心，且与直线bd相切的圆内运动，设，则的取值范围是
abcd.
二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11. 已知实数满足不等式组，且的最小值为，则实数的值是__.
12. 已知条件： >条件：﹥，则是的。
13. 一个正三棱柱的主（正）视图是长为，宽为2的。
矩形，则它的外接球的表面积等于___
选作题题选两个题作答）
14、如图，在圆o中，直径ab与弦cd垂直，垂足为e,,垂足为f,若，则。
15、直线与圆相交的弦长为。
16、若存在实数使成立，则实数的取值范围是。
三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17. 已知函数，求。
（ⅰ）函数的定义域和值域； （写出函数的最小正周期和单调递增区间。
18. 重庆电视台的一个智力游戏节目中，有一道将中国四大名著a、b、c、d与它们的作者
连线的题目，每本名著只能与一名作者连线，每名作者也只能与一本名著连线．每连对。
一个得3分，连错得分，一名观众随意连线，将他的得分记作ξ．
（ⅰ）求该观众得分ξ为正数的概率； （求ξ的分布列及数学期望．
19、已知函数。
（ⅰ）当时，求函数的最大值； （当时，曲线在点处的切线与有且只有一个公共点，求的值。
20、已知斜三棱柱，在底面上的射影恰为的中点，为的中点，.
（i）求证：平面；（ii）求二面角余弦值的大小。
21、设a,b是椭圆上的两点，为坐标原点。
（ⅰ）设，,
.求证：点m在椭圆上；
（ⅱ）若，求的最小值。
22、若实数列满足，则称数列为凸数列。
（ⅰ）判断数列是否是凸数列？
（ⅱ）若数列为凸数列，
求证：;设是数列的前项和，求证：.
2023年重庆市高考压轴卷数学答案(理科)
一．选择题 bdcda abacd
二．填空题 -3 既不充分也不必要条件。
17.解：ⅰ）函数的定义域。
∴ 函数的值域为。
(ⅱ)的最小正周期为，令得
函数的单调递增区间是。
18.解： (1)的可能取值为．
该同学得分正数的概率为．
2) ,的分布列为：
数学期望．19. （时， ,
在上，在上，故。
ⅱ)由题设知：切线的方程为，于是方程：
即有且只有一个实数根；
设，得；当时，,为增函数，符合题设；
当时，有得。
在此区间单调递增，;
在此区间单调递减，;
在此区间单调递增，;此区间存在零点，即得不符合题设。 综上可得。
20. 法一：（i）如图， ，因为，所以，又平面，以为轴建立空间坐标系，则，，，由，知，又，从而平面；
ii）由，得。
设平面的法向量为，，，所以。
设，则。再设平面的法向量为，，
所以，设，则。
故， 可知二面角余弦值的大小。
法二： （i）如图， ，因为，平面，所以又，所以， 从而平面；
ii）由（i）知为菱形，
作于，连，则。
故为二面角的平面角，故二面角余弦值的大小。
21. （设，则。
则。故点m在椭圆上。
ⅱ)设， ,则。
则。从而故。
数列是凸数列。
ⅱ)由得。故。
由得。①故先证是凸数列。
在中令得。令叠加得。
故是凸数列， 由①得。
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