《正弦定理第一课时》教学设计与研究。
作者：陈兵。
**：《读与写·下旬刊》2015年第06期。
中图分类号：g633.7文献标识码：b文章编号：1672-1578（2015）06-0219-03
在人教a版《普通高中课程标准实验教科书数学必修5》第一章第一节，正弦定理的教学安排约2课时，下面笔者从教材分析、学情分析、设计思想、教学目标、重点难点、教学过程、板书设计、反思研究方面谈谈第一课时的教学设计。
1.教材分析。
本节内容在旧人教版教科书中为了巩固向量知识，体现向量的工具性作用，用向量作为工具推导出了正弦定理，但证明过程比较繁琐，不少学生感到很突然，难以理解。所以在新人教a版《普通高中课程标准实验教科书数学必修5》第一章第一节中，教科书舍弃了向量方法证明，而利用学生以往的知识进行了浅显的证明，这也吻合了利用正余弦定理解斜三角形时大多会用到必修四中三角函数的有关公式与定理，所以实质上它与三角函数属于同一系统，也是对三角函数知识的拓展应用；同时，作为三角形中的一个定理，也是对初中解直角三角形内容的拓展延伸。正弦定理的发现、证明、应用教参安排2课时完成，本节是正弦定理第一课时。
正弦定理第一课时内容共分为三个层次：第一层次教师通过结合近段时间万州正在建设万州长江三桥的实例，一方面激发学生学习数学的兴趣，培养学生热爱家乡的人文品质，另一方面引导学生对这一实际问题进行数学抽象，归为解三角形问题，培养学生从实际问题抽象出数学模型的能力。第二层次让学生观察特例，大胆猜想；然后由猜想入手，带着疑问，通过几何画板软件进行数学演示实验完善猜想，然后利用"作高法"、"等积法"、"外接圆法"、"三角函数定义法（坐标法）"四种方法证明正弦定理，验证猜想的正确性；第三层次利用正弦定理进行简单的应用，最后解决引例。
学生通过对任意三角形中正弦定理的探索、发现和证明，感受"观察——实验——猜想——证明——应用"这一思维方法，养成大胆猜想、善于思考的品质和勇于求真的精神。
2.学情分析。
对高一的学生来说，已学了三角函数，解直角三角形等知识，有一定观察分析、解决问题的能力，但对前后知识间的联系、理解、应用有一定的局限性，特别是用多种方法证明正弦定理是学生的一大难点。因此教师需恰当引导，提高学生学习的主动性，多进行前后知识间的联系，带领学生直接参与分析问题、解决问题并品尝劳动成果的喜悦。
3.设计思想。
本节课采用**式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，以问题为导向设计教学情境，以"正弦定理的发现和证明"为基本**内容，为学生提供充分自由表达、质疑、**、讨论问题的机会，让学生通过个人、团队等多种解难释疑的尝试活动，在知识的形成、发展过程中展开思维，逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力和创造性思维的能力。
4.教学目标。
4.1知识与技能目标：掌握正弦定理的内容及其证明方法，理解三角形面积公式，并学会运用正弦定理解决解斜三角形的两类基本问题之一。
通过对实际问题的探索，培养学生观察问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力，增强学生的协作能力和交流能力，发展学生的创新意识，培养创造性思维能力。
4.2过程与方法目标：让学生从已有的几何知识出发，通过对直角三角形边角关系探索的启发，共同**在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，实验，猜想，验证，证明，由特殊到一般归纳出正弦定理。
4.3情感态度与价值观目标：通过学生自主探索、合作交流，亲身体验数学规律的发现，培养学生勇于探索、善于发现、不畏艰辛的创新品质，增强学习的成功心理，激发学习数学的兴趣。
培养学生合情推理，探索数学规律的数学思想方法，通过三角函数、正弦定理、三角形的外接圆与面积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。还通过实例的社会意义，培养学生爱家乡的情感和为把家乡建设成库区特大中心城市而努力学习的责任心。
5.教学重点与难点。
教学重点：正弦定理的发现与证明；正弦定理的简单应用。
教学难点：正弦定理的猜想提出与证明过程。
教学准备：制作多**课件，学生准备计算器，直尺，量角器。
6.教学过程。
如图1所示，教学过程分为：创境激思提出问题、观察特例提出猜想、数学实验完善猜想、证明猜想得出定理、知己知彼百战不殆、运用定理解决问题、拓展**课外延伸七个环节。
教学过程流程图。
6.1创境激思，提出问题。
展示情景图如图2，为了配合重庆市把万州打造成特大中心城市，万州正紧锣密鼓在牌楼水厂和江南沱口电厂建设长江三桥，你能用现有知识计算出大桥的长度吗？
学完本节课，你将会轻松解决此类问题。——以此引入课题《正弦定理》。
设计意图】数学源于现实，兴趣是最好的老师。如果一节课有良好的开头，那就意味着成功了一半。因此，我通过从学生日常生活中的实际问题引入，激发学生思维，激发学生的求知欲，即从长江三桥这一学生喜闻乐见的实际工程提出问题，激发学生学习兴趣，培养学生热爱家乡的情感和为把家乡建设成特大城市而努力学习的责任心。
6.2观察特例，提出猜想在初中学生已经学习过解直角三角形问题，在rt△abc中，已知∠c=9o°，bc=a，ac=a，ab=c，如图3所示，引导学生回忆在直角三角形中，边长和角度之间有什么样的关系。
学生容易想到：
sina=ac，sinb=bc，sinc=cc，cosa=bc，cosb=ac，所以asina=bsinb=csinc，bcosa=acosb
进一步提问：这两个关系式能不能推广到任意三角形？是否还会有acosa=bcosb=ccosc成立呢？
设计意图】在直角三角形中引导学生利用已有知识得出两个简洁的边角关系式，把三角形边长与内角联系起来，激活学生头脑中的已有知识；以直角三角形这个特例作为切入点，引导学生转化为解直角三角形的问题，在解决问题后，对特殊问题一般化，得出一个猜测性的结论——猜想，符合从特殊到一般思维的过程，培养学生从特殊到一般的思想意识，培养学生创造性思维能力。
6.3数学实验，验证猜想。
6.4教师利用几何画板软件进行数学演示实验，画一个三角形，度量出三边长度和三个角度数值，计算显示一组asina，bsinb，csinc值，一组bcosa，acosb值，一组acosa，bcosb，ccosc值，不断拖动三角形一个顶点，改变三角形形状，观察各组比值的变化。直观地检验所提出的三个猜想关系式对任意三角形的适用性。
在拖动过程中，猜想1的三个比值一直都相等，猜想的两个比值并不是都相等，简单地剔除掉猜想，保留猜想1。归纳总结数学实验结果，完善猜想：在任意三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等：
asina=bsinb=csinc。
设计意图】中学生对于物理、化学、生物实验比较熟悉，抽象的数学也进行实验，能激起学生的好奇心和**欲望。让学生观察用几何画板进行数学实验，还可以使学生体会到数学的系统演绎性和实验归纳性两个侧面，让学生主动地投入到数学发现的过程中，发展创造性思维能力。
4.证明猜想，得出定理。
设计意图】按照从易到难、从直观到抽象的认知规律，循序渐进引导学生从几何层面、数形结合层面、三角函数定义分析层面进行思考，突出重点，突破难点，得出定理。实现数与形结合、形象思维与抽象思维结合，以拓展学生思维空间的深度和广度。
1）证法一：作高法（如图5）
过c作cd⊥ab于d点，在rt△adc中，cd=bsina，在rt△bdc中，cd=asinb，bsina=asinb，∵asina=bsinb成立。
同理可证csina=asinc，∵asina=csinc成立。
asina=bsinb=csinc成立。
2）证法2：等积法（如图6）
在任意△abc中，均有：s△abc=12×底×高。
故得：三角形的正弦面积公式：
s△abc=12absinc=12acsinb=12bcsina
提问公式成立范围？公式记忆特点？
两边同除以12abc，得sinccsinbbsinaa
再在等号两边取倒数，即得正弧定理。
这个比值是多少呢？
3）证法三：三角形外接圆法（如图7）
作三角形abc的外接圆，o为圆心，设圆o的半径为r.
连接co并延长，与圆交于点d，再连接bd.
则∠a=∠d
所以，a=cd·sind=2r·sina.
asina=2r
同理，bsinb=2r，csinc=2r
asina=bsinb=csinc=2r
注：①锐角、直角、钝角三角形均可；
由证法三可知，正弦定理中等号两边的比值的几何意义是三角形的外接圆直径。
4）证法四：三角函数定义法（坐标法）（如图8）
把三角形abc置于x轴上方，任取一顶点与坐标原点重合，一边与x轴的非负半轴重合。
如图则有：点a的坐标为a（ccosb，csinb）
作□acbd，则db=ac=b，∠dbc+∠c=180°，则d（bcos∠dbc，bsin∠dbc）=d（bcosc，bsinc）
正弦定理第一课时教学设计
正弦定理 第一课时 教学设计。点明课题。本节课是普通高中课程标准实验教科书必修5第一章 解三角形 中的1.1 正弦定理和余弦定理 中的1.1.1 正弦定理 的内容，该节包括正弦定理的发现 证明和应用，我把这节内容分为2课时，现在我要说的是 正弦定理 的第一课时，主要包括正弦定理的发现 证明和简单的应...
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《正弦定理》第一课时教学设计
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