5．9正弦定理、余弦定理（第一课时）——正弦定理。
说课稿]全日制普通高级中学教科书（必修）》第一册（下）5。9节。
凉山州西昌二中江学超。
本说课稿包含：教材分析、教法分析、学法分析、过程分析、设计说明五部分。
一、教材分析。
1． 教材的地位和作用。
本课时（正弦定理）是高一下期第五章《平面向量》的一节重要内容。本章《平面向量》是高中数学新教材新增的一章重要内容，向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，是沟通和解决代数、几何和三角函数的有力工具。《平面向量》包括一向量的概念和运算；二向量的应用这两部分内容，正弦定理属于向量应用中的解斜三角形部分，为了巩固向量的知识，体现向量的工具性作用，新教材用向量作为工具证明正弦定理和余弦定理。
作为高一下学期所学两章第四章《三角函数》和第五章《平面向量》都与角、三角形、三角函数有着非常紧密的关系，正弦定理是关于三角形边角关系的重要定理，也正是《三角函数》这章的应用的延伸，因而它是整个高一下期所学内容的集中应用的一个体现。
2． 重点和难点分析。
基于以上的教材分析，本课时确定以下的教学重点和难点：
教学重点】发现正弦定理，并最终利用向量方法证明正弦定理。
教学难点】利用向量方法证明正弦定理。
3． 目标分析。
【知识目标】让学生发现正弦定理，理解用向量方法证明正弦定理，并掌握和运用正弦定理解决实际问题。
【能力目标】培养运用向量工具的能力，并渗透数形结合的数学思想，提高运用所学知识解决实际问题的能力。
【德育目标】鼓励学生探索发现规律，鼓励学生主动参与，积极**，大胆讨论，交流合作，积极进取的团队精神。
【美育目标】通过鉴赏正弦定理，让学生感受数学的和谐美、匀称美。
二、教法分析。
按照建构主义观点，知识需要经过学习者自身体验，才能被同化和顺应，因此教学设计注意学生的主体地位，发挥教师的组织和引导的作用，调动学生的主动性和积极性。数学是培养学生分析问题，解决问题的能力及创造能力的载体，新课程倡导：学生主动参与，乐于**，交流合作，强调过程，强调学生探索新知识的经历和获得新知识的体验，注重培养学生的终生学习能力。
基于以上认识，本节课主要采用：启发引导，观察**，动手实验，分组讨论等教学方法，利用计算机辅助教学。通过创设数学情境，让学生自己去发现问题，发现规律，再利用〈几何画板〉软件做数学实验，验证规律的正确性。
为了突破，利用向量证明定理这一难点，采用从易到难，从直观到抽象的认知规律，给学生搭阶梯，降低坡度，从特殊（直角三角形）到一般（斜三角形），从传统证法到向量证法，由易到难层层推进，让学生大胆讨论，尝试“失败”，从“失败”中总结经验教训，从而证明定理。获得成功的体验。
三、 学法分析。
授人以鱼，不如授人以渔”我们在传授知识给学生的同时，教给他们好的学习方法，不但让学生“学会”还要让学生“会学”，转变学生的学习方式。作为高一学生已经具有了一定几何形象思维能力，但抽象思维能力不强，此时刚刚学习了向量的概念和运算，如果按教材正弦定理的证明方法，直接作一个垂直于三角形一边的单位向量，学生可能会感到很突然，难以理解。本课时设计将通过生活中的实际问题，创设一些数学情境以及数学实验，引导学生自己去发现正弦定理，并从中体会到：
定理并不是凭空产生的，发现定理并不都是高不可攀的事情，通过我的努力，也可以做一些看似数学家才能完成的事，在这个过程中，学生在课堂上的主体地位得到充分发挥，极大地激发了学生的学习兴趣，也提高了他们提出问题，解决问题的能力，培养了他们的创新能力。
四、 过程分析。
1． 教学过程流程图。
2． 教学过程分析。
2.1结合实例，提出问题。
实际问题：如图某测量人员要测量岸边a处到小岛b的距离（测量工具有测角仪器和米尺以及计算器）。问怎样测得ab的距离？
由幻灯给出上图，再引导和提示学生想办法怎样测得ab：根据学生的实际引导学生从以下两种思路出发考虑问题，并由思路二引入本节课的课题“正弦定理”。
思路一：选择恰当的点c使得角c为直角，再测量出ac的距离和角a，从而解直角三角形；
思路二：测量人员在岸边选择一点c距离点a有200米并测得，。
教学设想】数学源于现实，从实际问题出发，可激发学生学习兴趣和探寻的欲望，引导学生对这一实际问题进行数学抽象，归为解斜三角形问题，培养学生从实际问题抽象出数学模型的能力。
2.2观察特例，提出猜想。
我们在初中已经学过解直角三角形问题，如图在直角△abc中，已知，引导学生回忆在直角三角形中，边长和角度之间的关系。
学生根据引导和提问比较容易得到如下关系（也可能有其它关系式，也要鼓励）这也正是新课程所倡导的学习过程的体验。
进一步提问：这两个关系式能不能推广到任意三角形。
教学设想】在直角三角形中引导学生利用已有知识得出两个简洁的边角关系式，把三角形边长与内角联系起来，激活学生头脑中的已有知识：然后马上提出“这种边角关系是否适用于任意三角形”这个问题，打破学生原有认知结构的平衡状态，刺激学生认知结构根据问题情境进行自我组织促进认知发展，另一方面，从认知论的观点来看，在已有知识基础上提出新问题，有利于调动学生学***、接纳新知识的心理倾向；以直角三角形这个特例作为切入点，符合从特殊到一般思维的过程。
2.3数学实验，完善猜想。
让学生自己动手画一个三角形，度量出三边长度和三个内角的度数值，利用计算器计算一组的值，另一组的值，改变三角形形状，观察各组比值的变化（有条件的学生可以自己动手用〈几何画板〉软件进行数学实验）直观地检验所提出的两个猜想，对斜三角形而言①成立②不成立，从而保留猜想①。
同时教师利用〈几何画板〉软件中的度量功能计算出所画三角形的边和角的数值，以及，的值并显示，并不断变化三角形的形状，进一步观察比值的变化情况，演示给学生看。
教学设想】中学生对于物理实验、化学实验、生物实验比较熟悉，抽象的数学也进行实验，能激起学生的好奇心和**欲望。引导和鼓励学生扮演数学家的角色，模拟数学家的思维方式和思维过程，归纳总结数学实验结果，主动地投入到数学发现的过程中，发展创造性思维能力，另一方面要引导学生注意到猜想需要严格证明才能成为定理，培养和强化学生数学思维的严谨性。
2.4证明猜想，得出定理。
1） 证法一（从特殊联想到一般）
如图在△abc中，，求证：
引导学生由直角三角形有成立，想法把斜三角形构造出直角三角形，从而得证：，同理可证，于是证得结论成立。
教学设想】通过作辅助线，把斜三角形转化为直角三角形，把学生不熟悉的问题转化为熟悉的问题，引导启发学生利用已有的知识解决新的问题。
2） 证法二（由三角形的高联想到面积）
由前面的证法一，由于作了△abc的高，引导学生想到△abc的面积，从而证明结论。
同理可证，于是证得结论成立。
教学设想】引导学生用这两种传统方法来证明，可培养学生的化归意识，从多角度看待问题，同时又可发现三角形面积的又一个计算公式，让学生体会到**的乐趣和体验成功的喜悦。
3） 证法三（利用向量证明）
在学生已有**的乐趣和**的欲望下，提出新问题，引导学生继续探索发现。
提问：还有其它能反映角度和长度关系的量吗？
回答：向量的数量积（可能也有学生回答其它的答案或者不知道，这需要教师恰当的引导。）
问：在△abc中如何构造出向量及向量的数量积呢？（此时学生的回答又会很活跃，但可能答案又各不相同，这就需要教师的引导，并鼓励各种答案，从而开启学生智慧的大门）
回答如：①：失败”，却有收获即射影定理）
“失败”，却意外得到余弦定理，为后面学习余弦定理埋下伏笔）
同理可证。此时教师看学生回答的情况如何）若出现多种情况教师可让学生分成几个组来完成，一个组完成一种情况；若出现一两种情况，可引导学生先逐步完成一种情况，再思考另一种情况。总之，此时教师一定要根据学生的学习情况，学习基础知识，基本功的情况以及课堂时间进行非常恰当的引导和安排。
现在以假设出现上述三种情况为例进行说课。
第一：让三个小组各选出一名同学把他们自己的推理过程及结论写在黑板上，并讨论总结他们失败和成功的原因；
第二：总结①、②两证明“失败”的原因，从而发现这一根源，再根据图形找角是哪两个向量的夹角；
第三：总结了“失败”的原因后，自然会找到或象教科书所指的；
第四：再让全班同学一半进行的计算，另一半进行的计算；
第五：让全班同学在上面计算和证明的基础上，进行讨论、总结整理，从而理解用向量证明正弦定理的真正本质和关键、难点所在，教师再作恰当的画龙点睛似的总结，并用幻灯给出一种准确的证明方法。
教学设想】通过提出问题，诱发学生积极，主动去思考，并根据不同的思路产生不同的思维结果。并鼓励学生对各种结果进行计算和证明，最终产生不同的结果，有证明出定理的，有没有证明出定理的，让大家进行讨论，交流合作，此时学生热情高昂，辩论激烈，课堂气氛达到高潮，学生的思维得到启迪和发展。
2.5运用定理，解决实例。
通过大家共同努力，完成定理证明，让学生体验到成功的愉悦，同时教师不失时机的引导学生结合三角形图象，体会公式的对称美、和谐美，并能强化学生对正弦定理的记忆效果。因而自然过度到课堂练习，让学生运用正弦定理解决本节课引入的实际例子，求ab的距离。（用幻灯给出解答过程）
再练习p书133 练习 1,2（1）
教学设想】通过让学生自己动手解决实际工程中的问题，提高学生学习的热情和动力，使学生体验到成功的自豪感和乐趣，变“要我学”为“我要学”。
2.6课堂小结，作业布置。
由学生叙述，教师进行补充和整理。小结的目的一方面让学生再次回顾本节课的活动过程，重点和难点所在；另一方面更是对**过程的再认识，对数学思想方法的升华，对思维的反思，可为学生以后解决问题提供经验。
作业：p书134 习题5.9 2,5,6(3)
思考题：在rt△abc中，那么在一般三角形中，设，那么这个会等于多少呢？
板书设计。
余弦定理教案第一课时
1 教学内容 人教版必修五第一章余弦定理第一课时。2 教学目标 1 知识与技能 掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。培养数学语言的表达能力以及转化能力。2 过程与方法 通过设疑 讨论的过程中，在老师的引导下，解决利用余弦定理求解三角形的过程...
案例 余弦定理 第一课时
案例 余弦定理 第一课时 一 教学目标。1.使学生掌握余弦定理，并会初步运用余弦定理解斜三角形 2.使学生理解用坐标法证明余弦定理的过程，逐步学会用坐标法解决具体问题 3.通过启发 诱导学生发现和证明余弦定理的过程，培养学生观察 分析 归纳 猜想 抽象 概括等逻辑思维能力 4.通过发现教学法，培养学...
第一课时正弦定理
教学目标 掌握正弦定理推导过程，会利用正弦定理证明简单三角形问题，会利用正弦定理求解简单斜三角形边角问题，能利用计算器进行运算 通过三角函数 正弦定理 向量数量积等多处知识间联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。教学重点 正弦定理证明及应用。教学难点 正弦定理的证明，正弦定理在解三角形时应用思路。...