工程硕士学位课程考试。
高等工程数学试题（2023年3月）
注意：每位考生只要选做以下两部分试题，答案必须写在答题纸上。
矩阵分析部分。
一．（8分）设求值。
解： 由定义：
因为。所以。
二．（6分） 已知函数矩阵：， 求矩阵。
解： 设， 其中。
利用公式以及， 可知。
由计算可知， 从而。
三．（10分）设向量与。
令，1）求的一组基和维数； （2）求维数。
解： (1) 因为， 所以对以为列的矩阵作行变换得到。
此即矩阵的hermite标准形。 从而的一组基为，. 由维数公式。
得到。 四．（12分）
1．设，求矩阵的初等因子和最小多项式，并计算；
解： 由观察可知为两个jordan块构成的jordan矩阵， 其中。
所以的初等因子为，而的最小多项式为的最小多项式与的最小多项式的最小公倍式。 由矩阵幂级数的性质，
2．，求解初值问题
解： 先求。 可以求得的最小多项式为。 令。
其中为待定系数。 令。
所以， 从而。
五．（8分） 设为的一个线性变换，且。
求线性变换在基下的矩阵。
解： 由题意有。
所以。六．（6分）设为正规矩阵，且存在正整数使得：（称为幂零矩阵），求证：。
证明： 因为为正规矩阵， 所以酉矩阵与对角矩阵， 即存在酉矩阵， 使得， 其中为对角矩阵， 从而。
数值分析（计算方法）部分。
一． （8分）求一个次数不高于3的多项式，使它满足：
并求差商的值。
解： 因为， 所以可设， 由其他三个条件得。
解得， 从而。
于是， 由如下差分表可得。
二．（10分）用迭代法求解方程：的所有实数根（要求判断根的个数及范围，构造收敛的迭代格式，并且求出精确到的近似根）。
解： 当时， 原方程无解；
当时， 把原方程改写为。
这里有， 从而原方程在有唯一解。 迭代求解格式为。
其中为任意大于1的数。
三．（12分）
1．用列主元素法解方程组：
解：略。2．写出用迭代法求解线性方程组。
的迭代格式，并讨论其收敛性。
解： 设方程组为， ,则迭代格式为。
也就是。迭代矩阵。
可以求得的三个特征值为， 所以其谱半径， 从而迭代法收敛。
四．（12分）
1．求系数，使数值公式： 的代数精度尽量高，并求其最高的代数精度。
解： 把用代入得到。
解得， 从而求积公式为。
把代入得到公式恒成立， 把代入得到。
所以最高代数精度为3.
2．用算法求积分的近似值。（精确到）
解：略。五．（8分）用改进的法（预报—校正公式）计算积分：
在时的近似值。（取步长小数点后至少保留6位）
解：略。
2023年高等数学考试A卷
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三 做题原则 一快一慢 这里所谓的 一快一慢 指的是审题要慢，做题要快。题目本身实际上是这道题目的全部信息源，所以在审题的时候一定要逐字逐句地看清楚，力求从语法结构 逻辑关系 数学含义等各方面真正地看清题意。有一些条件看起来没有给出，但实际上细致审题你才会发现，这样就可以收集更多的已知信息，为做题正...