系泊系统的设计。
摘要。本题要求观测近海观测网的组成，建立模型对其中系泊系统进行设计，在不同风速和水流的情况下确定锚链，重物球，钢管及浮标等的状态，从而使通讯设备的工作效果最佳。求解的具体流程如下：
针对问题一，分别对系统中的受力物体在水平方向和竖直方向上的力进行分析，找出锚链对锚无拉力时的临界风速，运用力矩平衡求出钢管与钢桶的倾斜角度。对于锚链，将其等效为悬链线模型，根据风速不同判断锚链的状态，从而求出结果。
针对问题二，需要调节重物球的质量，使通讯设备在时能够正常工作。为了确定重物球的质量，首先将实际风速与临界风速进行比较，判断此时系统中各物体的状态，与题目中已知数据进行比较。在钢桶倾斜角度达到临界角度时，计算锚链与海床的夹角并于题中数据进行比较，计算重物球的质量。
在浮标完全没入海面时，计算相应条件下重物球的质量，从而确定满足条件的重物球的质量范围。
针对问题三，要求在不同条件下，求出系泊系统中各物体的状态。以型号i锚链为例，当水流方向与风速方向相同时，系统条件最差，分析在不同水深条件下的系泊系统设计。由题中已知条件确定系统设计的限制条件，对系统各物体进行受力分析，以使整体结果最小，即可得出最优的系泊系统设计。
关键词：悬链线多目标非线性规划。
一、问题重述。
近浅海观测网的传输节点由浮标系统、系泊系统和水声通讯系统组成（如图1所示）。某型传输节点的浮标系统可简化为底面直径2m、高2m的圆柱体，浮标的质量为1000kg。系泊系统由钢管、钢桶、重物球、电焊锚链和特制的抗拖移锚组成。
锚的质量为600kg，锚链选用无档普通链环，近浅海观测网的常用型号及其参数在附表中列出。钢管共4节，每节长度1m，直径为50mm，每节钢管的质量为10kg。要求锚链末端与锚的链接处的切线方向与海床的夹角不超过16度，否则锚会被拖行，致使节点移位丢失。
水声通讯系统安装在一个长1m、外径30cm的密封圆柱形钢桶内，设备和钢桶总质量为100kg。钢桶上接第4节钢管，下接电焊锚链。钢桶竖直时，水声通讯设备的工作效果最佳。
若钢桶倾斜，则影响设备的工作效果。钢桶的倾斜角度（钢桶与竖直线的夹角）超过5度时，设备的工作效果较差。为了控制钢桶的倾斜角度，钢桶与电焊锚链链接处可悬挂重物球。
系泊系统的设计问题就是确定锚链的型号、长度和重物球的质量，使得浮标的吃水深度和游动区域及钢桶的倾斜角度尽可能小。
问题1某型传输节点选用ii型电焊锚链22.05m，选用的重物球的质量为1200kg。现将该型传输节点布放在水深18m、海床平坦、海水密度为1.
025×103kg/m3的海域。若海水静止，分别计算海面风速为12m/s和24m/s时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。
问题2在问题1的假设下，计算海面风速为36m/s时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状和浮标的游动区域。请调节重物球的质量，使得钢桶的倾斜角度不超过5度，锚链在锚点与海床的夹角不超过16度。
问题3 由于潮汐等因素的影响，布放海域的实测水深介于16m~20m之间。布放点的海水速度最大可达到1.5m/s、风速最大可达到36m/s。
请给出考虑风力、水流力和水深情况下的系泊系统设计，分析不同情况下钢桶、钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。
二、模型假设。
1.不考虑流体对锚链的作用，忽略锚链本身的伸长，锚链沿长度均匀分布；
2.假设风是二维的，只存在平行于水平面的风速，不存在垂直方向上的分量；
三、符号说明。
四、问题分析。
4.1 问题一分析。
问题一对于系泊系统的受力物体进行分析，分别对系统中的受力物体在水平方向和竖直方向上的力进行分析，找出锚链对锚无拉力时的临界风速，运用力矩平衡求出钢管与钢桶的倾斜角度。对于锚链，将其等效为悬链线模型，根据风速不同判断锚链的状态，从而求出结果。
4.2 问题二分析。
问题二需要调节重物球的质量，使通讯设备在时能够正常工作。为了确定重物球的质量，首先将实际风速与临界风速进行比较，判断此时系统中各物体的状态，并与已知数据进行比较。在钢桶倾斜角度达到临界角度时，计算锚链与海床的夹角并与题目要求进行比较，计算重物球的质量。
在浮标完全没入海面时，计算相应条件下重物球的质量，综合确定满足条件的重物球的质量范围。
4.3 问题三分析。
问题三要求在不同条件下，求出系泊系统中各物体的状态。以型号i锚链为例，当水流方向与风速方向相同时，系统条件最差，分析在不同水深条件下的系泊系统设计。由题中已知条件确定系统设计的限制条件，对系统各物体进行受力分析，以使整体结果最小，即可得出最优的系泊系统设计。
五、模型建立与求解。
5.1 问题一模型。
5.1.1问题分析。
问题一，系泊系统整体受力平衡，浮标受到恒定风力时，分别对系统中的受力物体在水平方向和竖直方向上的力进行分析，找出锚链对锚无拉力时的临界风速，运用力矩平衡求出钢管与钢桶的倾斜角度。对于锚链，将其等效为悬链线模型，根据风速不同判断锚链的状态，最后利用力矩平衡求出钢管与钢桶的倾斜角度，从而求出结果。
5.1.2模型建立。
step1.系泊系统受力分析。
对于浮标，它受到水的浮力，自身重力，风载荷及第一根钢管对浮标的力。此题中海水静止，故所有近海水流力为0。将钢管对浮标的力在分别水平方向和竖直方向上进行分解，具体受力如图所示，由浮标所受的力平衡得到：
图浮标受力分析图。
式中，、分别为钢管对浮标的力再水平方向和竖直方向的分立。
对于钢管，将第一节钢管对浮标的力设为，后续第节钢管对第k节钢管的力为，将钢管的力进行分解，钢管的受力情况如图所示，因此：
图钢管受力分析图。
式中，为钢管收到的浮力，由于钢管体积较小，在水中钢管的浮力与重力相比很小，可忽略不计；，分别为第k跟钢管对前一根钢管在水平方向和竖直方向的分力。
对于钢桶，它受到第四根钢管的力，水的浮力，自身重力以及锚链的拉力和重物球的拉力，具体受力如图所示，则：
图钢桶受力分析图。
式中，和分别表示锚链的拉力在水平方向和竖直方向上的分力。
对于系泊系统，由浮标、钢管和钢桶得水平受力分析可得：
其中，s为物体在风向法平面的投影面积，v为风速。
由竖直方向受力分析得：
设浮标的吃水深度为h，则：
其中，为海水密度，题中为；为重力加速度，本题取；为浮标底面积半径，本题中为；为浮标质量，为；为每节钢管的质量，为；为重物球的质量，本题中为，为钢桶底面半径，为钢桶的长度，钢管长度与钢桶相等。
将重物球当作铁球处理，则重物球的密度为，由题中已知条件可知，可以递推出：
step2. 悬链线模型。
对于锚链，假设其质量分布均匀，可以将锚链作为悬链线处理，从而做出以下分析，由静力学平衡条件可知，在坐标系中，锚链水平分立和垂直分力的代数和为0，可以得到：
图锚链受力分析图。
式中，表示锚链对钢桶的拉力，、分别表示锚链的水平分力与竖直分力，表示锚链的重力，为锚链任一点与水平方向的夹角。因此，可推导出：
表示锚链单位长度的质量，即线密度；为锚链在水中未触碰海底的长度。由曲线几何关系和力学关系及悬链线模型可求得，导线任一点的斜率为：
式中，x、y分别表示锚链在水平方向和竖直方向的投影长度。对两式分别进行积分，并用临界点数据()来确定积分常数，则可得，进一步可求得方程：
其中。step3.力矩分析平衡。
对于钢管，由于钢管的力矩平衡，可以得到：
其中，表示分别表示第k根钢管的倾斜角度，为水流对钢管的力，则：
即为：式中，分别是钢管的倾斜角度（k取1，2，3，4），根据题中的数值，可以得到以下公式：
代入数值后可求出钢管相应的倾斜角度。
对于钢桶，由钢桶的力矩平衡，可以得到：
其中，表示分别表示钢桶的倾斜角度，于是：
带入数值得：
式中，是钢桶的倾斜角度，由题中给出的数据可以计算出钢桶的倾斜角度。
5.1.3模型求解。
求解不同风速条件下系泊系统的状态，需要先求出系统的临界条件，即锚链与海床相切时的风速，然后将此临界风速与题目中所给风速进行比较，判断锚链的状态，最终求出不同风速下系泊系统的状态。
step1.临界条件。
当系统处于临界状态时，锚链与海床底部相切，此时，锚链全部抬起且对锚无拉力，。取锚链以上的部分进行受力分析，设锚链以上部分竖直高度为，由受力分析模型得：
由模型中的公式可以得到，此式是关于临界风速的表达式。
设锚链的竖直高度为y，可以得到：
由题中已知条件可知，水深为，则：
取锚以上部分进行分析，由系统受力平衡可得，锚以上部分重力与浮力相等，由此可得：
将题中各数值代入公式，编程可求得。
step2.风速为时。
由于风速小于临界速度的值，所以当风速为时，锚链与海底接触。此时，竖直方向上的受力，可以得到：
由悬链线模型可以得到，解得：
因此：由题中已知条件可知，水深为，则：
由锚链与海底深度的关系，编程求得浮标吃水深度h=0.688994。
浮标的游动区域由锚链在水平方向的投影长度，以及钢管和钢桶在水方向的投影长度能共同决定，设浮标游动区域为则可以得到：
由锚链在水平方向的投影长度及钢管、钢桶的倾斜角度可以求得，浮标游动区域大小。由钢管与钢桶的受力分析可以求得，四节钢管与钢桶的倾斜角度分别如表所示。
表12m/s时钢管及钢桶倾斜角度。
step3.风速为时。
由于风速大于临界速度的值，所以当风速为时，锚链完全倾斜。此时，锚链倾斜的长度。由临界条件中锚以上部分重力与浮力相等，即：
代入数值得：
可求得的值。由浮标，钢桶，钢管水平受力分析可得：
由悬链线模型可得：
由题中已知条件可知，水深为，则：
由锚链与海底深度的关系，编程求得浮标吃水深度h=0.703525。
浮标的游动区域由锚链在水平方向的投影长度，以及钢管和钢桶在水方向的投影长度能共同决定，设浮标游动区域为则可以得到：
由锚链在水平方向的投影长度及钢管、钢桶的倾斜角度可以求得，浮标游动区域大小you=17.521641。钢管与钢桶的受力分析可以求得，四节钢管与钢桶的倾斜角度分别如表所示。
表 24m/s时钢管及钢桶倾斜角度。
5.2 问题二模型。
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