10、在5.8节连续交通流模型中，考察在内公路段的流量和密度的变化，直接导出交通流方程（5）。
11、在5.8节红绿灯模型中，讨论初始密度是拥挤流即时密度函数的变化（类似于图5-23对于稀疏流的分析，画出分阶段的示意图，求出“追上车队”和“堵塞消失”的时刻，分析间断点的变化规律等）。
12、证明红绿灯模型中左右间断线和当足够大后以相同速度向前移动。
13、讨论绿灯模型。设初始密度（）为。
画出时的示意图。
证明（）时位于处的车辆通过的时刻为。
证明内通过的车辆数为。
14、将5.10节得到的万有引力定律（18）式与熟知的形式（19）进行比较。查询太阳质量、地球运行轨道（椭圆）的长半轴、引力常数等数据，说明二者是一致的。
15. 对于技术革新的推广，在下列几种情况下分别建立模型。
推广工作通过已经采用新技术的人进行，推广速度与已采用新技术的人数成正比，推广是无限的。
总人数有限，因而推广速度随着尚未采用新技术人数的减少而降低， 在②的前提下还要考虑广告等媒介的传播作用。
16. 建立耐用消费品市场销售量的模型。如果知道了过去若干时期销售量的情况，如何确定模型的参数。
17、 根据经验当一种新商品设入市场后，随着人们对它的拥有量的增加，其销售量的下降速度与成正比。广告宣传可给销量添加一个增长速度，它与广告费成正比，但广告只能影响这种商品在市场上尚未饱和的部分（设饱和量为）。建立销量的模型。
若广告宣传只进行有限时间，且广告费为常数，问如何变化。
18.人工肾是帮助人体从血液中带走废物的装置。它通过一层薄膜与需要带走废物的血管相通（见图5-26）。
人工肾中通以某种液体，其流动方向与血液在血管中的流动方向相反，血液中的废物透过薄膜进入人工肾。
设血液和人工肾中液体的流速均为常数，废物进入人工肾的数量与它在这两种液体中的浓度差成正比。人工肾总长。建立单位时间内人工肾带走废物数量的模型。
19. 在鱼塘中投放尾鱼苗，随着时间的增长，尾数将减少而每尾的重量将增加。
设尾数的相对减少率为常数；由于喂养引起的每尾鱼量的增加率与鱼表面积成正比，由于消耗引起的每尾鱼量的减少率与鱼重量成正比。分别建立尾数和每尾鱼重的微分方程，并求解。
用控制网眼的办法不捕小鱼，到时刻才开始捕捞，捕捞能力用尾数的相对减少量表示，记作，即单位时间捕获量是。问如何选择和，使从开始的捕获量最大 。
20. 侦察机搜索潜艇。设时艇在点，飞机在点，海里（见图5-27）。
此时艇潜入水中并沿着飞机不知道的某一方向以直线形式逃去，艇速20海里/时，飞机以速度40海里/时按照待定的航线搜索潜艇，当且仅当飞到艇的正上方时才可发现它。
在极坐标系中设时刻飞机在（），艇在（）。证明飞机为了与艇在相遇，航线必是对数螺线，其中是满足的某一点的坐标，例如。即飞机先由点沿直线飞到点，再沿对数螺线飞行。
画出航线示意图。说明飞机最多沿螺线飞一周（）总可发现潜艇。
证明；为了使整条航线是一条光滑曲线，飞机应先飞到点，再沿螺线飞行。
在所有可以发现潜艇的航线中哪一条航线最短，长度若干。光滑航线的长度又若干。
21. 建立铅球掷远模型。不考虑阻力，设铅球初速为，出手高度为，出手角度为（与地面夹角），建立投掷距离与、、的关系式，并在、一定的条件下求最佳出手角度。
22. 建立肿瘤生长模型。通过大量医疗实践发现肿瘤细胞的生长有以下现象：
i）当肿瘤细胞数目超过时是临床可观察的；ii）在肿瘤生长初期几乎每经过一定时间肿瘤细胞就增加一倍；iii)在肿瘤生长后期由于各种生理条件限制肿瘤细胞数目趋向某个稳定值。
比较logistic模型与gompertz模型：，其中是细胞数，是极值，是参数。
说明上述两个模型是usher模型：的特例，解释参数的意义。
23. 建立一个模型说明要用**火箭发射人造卫星的道理。
设卫星绕地球作匀速圆周运动，证明其速度为，为地球半径，为卫星与地心距离，为地球表面重力加速度。也就是火箭的末速。问要把卫星送上离地面600公里的轨道，火箭末速应为多少。
设火箭飞行中速度为，质量为，初速为零，初始质量，火箭喷出的气体相对于火箭的速度为，忽略重力和阻力对火箭的影响。用动量守恒原理证明。由此你认为要提高火箭的末速应采取什么措施。
火箭质量包括3部分；有效载荷（卫星）；燃料；结构（外壳、燃料仓等）。其中在+中的比例难以小于10%。证明当=0（火箭不带卫星），燃料用完时火箭达到的最大速度为。
已知目前的千米/秒，取=10%，求。这个结果说明什么。
假设火箭燃料燃烧的同时，不断丢弃无用的结构部分，即结构质量与燃料质量以和的比例同时减少。用动量守恒原理证明。问燃料用完时火箭末速为多少。与前面的结果有何不同。
④是个理想化的模型，实际上只能用建造多级火箭的办法一段段地丢弃无用的结构。记为第级火箭质量（燃料和结构），为结构质量（对各级是一样的）。有效载荷仍用表示。
当第1级的燃料用完时丢弃第1级的结构，同时第2级点火，再设燃烧级的初始质量与其负载质量之比保持不变，比例系数为。证明3级火箭的末速。计算要使千米/秒，发射1吨重的卫星需要多重的火箭（、用以前的数据）。
若用2级或4级火箭，结果如何。由此得出使用3级火箭发射卫星的道理。
章绍辉版数学建模第五章作业
第五章作业。第一题 1 第三种边界条件。第三种边界条件要求给定三次样条s x 在区间 x0,xn 的左右端点的一阶导数和。我们参考了例5.1.4在210页计算出了左右端点的一阶导数，其中 3.3667 2.3333 matlab程序如下 x 0,1,3,6,8,9 y 3.3667,3,1,2,0,...
第五章作业习题答案
一 假定为一类环境查表得。长细比查表 配筋率较高。二 按螺旋筋柱设计。取则。取纵筋，则。假定箍筋直径为10mm则。满足。取则 取。满足构造要求。复核。满足要求。若按普通箍筋柱，则。满足要求。综上最终配筋方案为 纵筋 箍筋 查表 判断偏压类型 为短柱，因此不必考虑二阶效应，取。按照大偏心设计。1 为使...
第五章总结
第五章 电流和电路知识总结。5.1 电荷 一 摩擦起电 摩擦过的物体具有的现象。摩擦带电体具有什么性质？例 1 用塑料梳子梳头时头发随梳子飘起来 2 与头发摩擦过的塑料尺能吸引纸屑。3 夜晚，脱毛衣时看到产生火花4 打开成卷的塑料薄膜时，看到薄膜能吸引头发。二 电荷 例 电子 离子及其他带电微粒。1...