数学建模五步法小**。
问题再现：一个汽车制造商售出某品牌的汽车可获利1500美元，估计每100美元的折扣可以使销售额提高15%。
多大的折扣可以使利润最高？利用五步方法及单变量最优化模型。
对你所得的结果，求关于所做的15%假设的灵敏性。分别考虑折扣量和相应的收益。
假设实际每100美元的折扣仅可以使销售额提高10%，对结果会有什么影响？如果每100美元的折扣的提高量为10%~15%之间的某个值， 结果以如何。
什么情况下折扣会导致利润的降低？
问题一：一、 问题的提出。
1. 具体问题。
1）多大的折扣可以使利润最高？利用五步方法及单变量最优化模型。
2）对你所得的结果，求关于所做的15%假设的灵敏性。分别考虑折扣量和相应的收益。
3）假设实际每100美元的折扣仅可以使销售量提高10%，对结果会有什么影响？如果每100美元的折扣的提高量为10%~15%之间的某个值， 结果以如何。
4）什么情况下折扣会导致利润的降低。
2. 符号的说明。
1）每辆汽车的成本；
2）折扣前的销量；
3）折扣后的销量；
4）折扣前每辆车的**；
5）折扣后每辆车的**；
6）折扣前的销售额；
7）折扣后的销售额；
8）折扣前的利润；
9）折扣后的利润；
由题意：折扣前的利润，设折扣为时，可使利润最高。此时假设活动一次性完成，即厂家一次性降低美元，销售额提高可使利润最高。
二、 选择建模方法。
则由题中已知条件可得方程组。
三、 推导模型公式。
由各关系式可推出折扣后的利润函数为：
四、 求解模型。
已知厂商折扣后的利润函数为：
为使厂商利润最大，令。
解得：五、 回答问题。
一般情况下，无论值取多少，厂商为了使得利益最大，都会选择降价420美元左右。
问题二：灵敏性分析。
题中估计每折扣100美元销售量提高15%，现在假设其实际值是不同的，对几个不同的值13%，14%，16%，17%，重复问题一中的求解过程，以此来分析销售量提高率的敏感程度。同理，还是对厂商利润函数求导，使之等于0解得不同提高率下的降价金额如表1所示：
表1不同提高率下的降价金额。
利用表2中数据在matlab中画图，输入命令：
x=[0.13 0.14 0.15 0.16 0.17];
y=[365.4 392.9 420 437.5 455.9];
plot(x,y,'*
得图2：图2
由图可以看到厂商需降价的金额对销量的提高率是很敏感的。
问题三：若实际每100美元的折扣仅可以使销售额提高10%，同样我们可以通过对利润函数求导，并令导数等于0，求得相应的x值是2.5，即厂商欲获利最大，需将**下降250美元；
假设销量提高率在10%到15%之间的某一个数，我们设为r，则，通过对利润函数求导使之等于0得到：
当时，每个r都对应着一个应降价的金额，利用matlab做其函数关系如图3
输入命令：x=[0.10 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15];
y=7.5-1./(2*x)
plot(x,y,'*
得图3：图3
问题四：厂商降价幅度超过最优解后，接着降价则会导致厂商总利润降低。
数学建模五步法
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