台球运动中跳球问题的数学模型。
卢浩然。信科-计算机201211211038
摘要。先将台球运动中一些不必要的细节进行理想化，建立了方便计算的理想物理模型利用物理学碰撞原理，和牛顿经典力学分析母球在击球后的运动状态，并经过资料查找和高速录像的慢速回放，得到了台球中跳球的正确击打方式并确定了击球时的击球点，并得出了球杆仰角，击球力量大小与母球被击出后的轨迹的数学关系式。最终通过计算得出了所要击球效果与击球角度和力量大小的关系。
关键词：理想化牛顿经典力学碰撞原理
问题的提出。
台球运动场地小，是室内运动，不受季节、天气、时间等因素影响；台球的运动量不大，不会耗费大的体力，适合任何人；台球是一种智力的体育活动，趣味性很强。
台球运动在我国已十分普及，从城市到乡村，到处可见，成为中国人健身娱乐的项目之一。优秀台球手的技术能给人深刻的印象，他们能从各种距离和各个角度击球入袋。初学者应不断地努力训练，学会如何操杆撞击球，使母球与彩球相撞，将彩球以合适的角度和速度送进袋中。
试对台球技术问题建立数学模型，指导初学者，帮助他们提高技艺。
台球的网口虽然很小，但有较小的余地，即使你不是瞄得很准球也能入网。人的误差总是存在的，所以一个有趣的问题是在一次击球中允许多大的偏差，仍能保证彩球进入球网。这里考虑台球桌上只有母球和一个彩球。
模型假设。1台球桌面绝对平滑，不存在凹凸；
2没有撞击的台球运动轨迹是一条直线；
3两个台球碰撞等同于物理上两个刚体的碰撞；
4两个台球的运动速度不受摩擦的影响；
5两颗台球的形状质量完全一样；
6球杆击球时接触面为一点，忽略杆头的形变。
7球台不存在形变。
8击球过程时间极短，不存在连击问题。（连击指在一次击球过程中球杆两次与球接触，属犯规行为）
9台球均为均匀球体，击球过程中不存在形变。
模型的准备。
为了建立跳球时的数学物理模型，我首先对台球运动中各种的受力情况进行了简单的物理分析。
运动中的球与桌面：
相对滑动速度：
球心速度为，角速度为。
球面上任意一点的位置为，则球面上该点的速度为。
如图所示，球引起桌面形变，球如果纯滚动，则球与桌面之间没有滑动。而球面上某点与形变接触面的相对滑动速度是该点速度在球面上的投影（记为），即：
滑动动摩擦力：
1.摩擦力的作用点都在接触面内。
2.每一点的摩擦力的方向与该点的相对滑动速度方向相反。
3.假设接触面内的压力分布为。
因此摩擦力的合力为，其中表示接触面的面积区域。
滑动动摩擦力矩：
由摩擦力计算公式可知力矩。
的展开式：记，因为，所以：
展开并忽略二阶小量得：
受力分析：接触面很小，的量级远小于，若和不是很小，可认为，即可以用球最低点的速度来计算摩擦力的方向。因此可以认为整个接触面以的速度整体相对于桌面滑动。
我们可以注意到对球在桌面的滚动不起作用，实际上暗示着将在球撞击桌边时起重要作用。
碰撞过程：碰撞瞬间，只有两球接触面的正压力以及摩擦力较大，其他方向的冲量可忽略不计。
为了方便起见，假设两球接触面很光滑，摩擦因数很小，则两球碰撞，两球接触面的摩擦力就可以忽略。
球只要不是纯滚动，球与桌布之间就一定会有滑动摩擦力。在摩擦力的作用下，运动状态发生改变。
拉杆球：假设碰撞时可忽略摩擦力则，目标球没有转动，质心的运动方程就如下。
1式平方减2式可知碰撞后，即碰撞后两球速度方向垂直，观察目标球的受力可知目标球的速度方向只可能在两球连心线上。实际上可以这样理解，白球把连心线方向的速度传递给了目标球，碰撞后白球质心沿垂直于连心线方向以运动。
但白球是拉杆球，碰撞后并不一直沿运动，由于白球向后旋转，由可知白球最低点的速度以及摩擦力如图所示：
因此拉杆球撞击目标球后，先是沿两球撞击点切线方向运动，然后会向偏离目标球的方向发生偏转。
拉杆球如果正击目标球，碰撞后白球质心初始速度为0，但由于反方向的旋转，在摩擦力的作用下，球将向来的方向运动。
定杆球：由于没有旋转，球如果是正碰，由于速度交换白球将停下来。由于如果打定杆击球太慢就有可能在球到达目标球之前已经变成滚动。此时就变成了跟球。
跟球：类似的分析可知，跟球和拉杆的偏转相反。若跟球的角速度很大，则在碰撞后白球继续加速较大的速度，从而与目标球发生第二次碰撞。
强旋球：则是也是由于旋转方向与质心运动方向不一致，而且因为旋转特别强，摩擦力方向几乎由旋转方向决定。
桌边球：桌边球的分析中，显得相当重要，而垂直于桌边的角速度矢量不再如此重要。
分析一个有趣的例子：
假设桌球面平行于xoy平面，y轴为球桌的桌边，如图所示，各角速度矢量也在图中标注，为了方便假设旋转较强，实际上这正是为了突出主要矛盾。
xoy平面内的投影图xoz平面内的投影图。
通过相对滑动，在接触点简单地分析摩擦力，假设球撞击桌边后**，由于有的存在，桌面的摩擦力分量会使球减速并再次回到桌边碰撞；而由于的存在，桌面的摩擦力分量会使球沿y方向加速。因此球可能产生如下的轨迹：
滚动阻尼：实际上球不可能做理想的纯滚动，滚动中由于桌布形变凹陷还是会有滚动阻尼和能量损耗，滚动阻尼可以用力矩（压力等效阻力臂）来表示。
注意，并不只有滚动阻尼才能使球停下，例如球时，，球只能依靠摩擦力矩停下来。若接触面对球心张角为，摩擦阻力矩约为。
能量关系：球与桌面有滑动时滑动摩擦力就存在，球与桌面有滚动则滚动阻尼存在。他们都在消耗能量，只有当球静止时这两种作用才同时消失。
两球碰撞时的摩擦力：
球之间接触面上的摩擦可以做类似的分析，从而对目标球的运动轨迹的估计做出修正。该摩擦力使目标球在碰撞后具有与主球（白球）相反的旋转，但由于球比较光滑目标球的旋转较小，有时为了保证碰撞时两球接触面没有滑动通常要在主球上加点旋转。
击球以及例子：
要注意的是白球的初始运动状态是有杆给出的，因此并不是所有的理论上存在的运动状态都能出现，只有应用各种不同的击球技术才能打出各种各样有趣路线。以下做出简要分析：
击球的目的是通过杆将一定方向的冲量传递给白球，如果击球作用点不过质心就会有冲量矩（是击球点的位置）作用到白球上，此时白球就有旋转了。
质心运动：一般情况下与桌面的支持力冲量和球的重力冲量抵消，因此质心没有竖直方向的运动，就是球的初始运动方向。如果竖直方向的总冲量不为0，球就会跳起来。
冲量矩：显然使球侧旋，因此具有角度速；而显然将使球具有角速度。
由于杆杆与球的摩擦较大，杆与球碰撞时，正压力与摩擦力的合力趋向于是击球点受到的力与杆的撞击方向一致，如下图。
当然是在击球点不是太偏是可以粗略地这样认为，但要记住只是粗略，如下图击球点接近球的底部，只要正压力够大就会产生跳球。
为便于分析，暂时认为冲量方向与杆击球方向相同。分析时将冲量分为水平方向和竖直方向。用下图描述击球位置：
例如以角击球右上部，产生的冲量矩使球侧旋，产生的冲量矩使球产生另外两个方向的角速度，为例便于分析，做出俯视图：
通过控制击球点，可以使和的大小不同，当击球点偏右时较大。而球杆的倾角越大，越大，的效应越强；反之越大，的效应越强。以上只对右上击球不为做了粗略估计，在球的不同点规律有差别，例如在中心正下部，即使同样产生很大的。
成功的跳球是指击球点是在母球的上半部（而不是打低杆刺杆的那种跳球），这种跳球才是有效的击球。我们在此模型中只考虑将母球击起的简单情况，所以只考虑击球点在母球轴线上的情况。母球的自旋和将目标球碰撞入袋的问题我们不予讨论。
为了方便模型的建立，我们将母球视作不会产生形变的刚性均匀球体，而球杆与球碰撞时也不考虑杆头形变产生的影响，直接将击球点视作一个点。此外，由于通常情况**球桌平面有案泥，在受力时会产生一定的凹陷，我们在此忽略不计。
根据实际经验，跳球击球时主要有击球点选择，球杆倾角，还有击球力度三个主要变量影响击球效果。
4.模型的建立。
根据简化而得的运动状态模型和实际击球情况我不考虑上面讨论过的的母球自旋情况，所以我们将击球点选定在母球的对称轴上，且正确而又完美的跳球击球要求击球的力的方向指向球心，估击球点与球杆球杆倾角合并为球杆倾角。又因为要求跳球，即的大小要大于零。根据物理规律，跳球时的由垂直台球桌平面向上的力提供，所以我们将击球力f分为fz和fx，显然，球在空中不计空气摩擦阻力时符合牛顿经典力学。
于是有以下结论。
设击球角度θ，击球力f。
i=f*t，t随台球桌案泥的不同而又较大区别，我们在此假设t=0.2s。
母球被击出后的参数轨迹方程为。
又台球国际规则中没有规定标准的美式九球母球和彩球的质量，只规定了球之间的质量差不超过5g。估我根据中国市场通常的台球单颗球质量记m=130g。又记球直径r为国际标准52.
5mm。计算得出以下结论：
1. 当母球与被跳跃球的距离在两个球以上时候45度角是最好，不要将球杆放在下图灰色位置上以免失败。请看下图。
2. 当母球与被跳跃球距离一个球的时候75度是最好角度。灰色位置请不要下杆。请看下图。
3. 当母球与被跳跃球距离在一个球以内需要85度，基本将近垂直角度拉，这球不好打，需要比较轻而扎实的力量击打，最好不打这种以免把台尼损伤。请看下图。
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