广告中的数学。
在我们的现实生活中，广告无所不在。广告给商家带来了丰厚的利润，广告中蕴藏着诸多学问。以房产销售广告为例，房产开发商为了扩大销售，提高销售量，通常会印制精美的广告分发给大家。
虽然买房人的买房行为是随机的，他可能买房，也可能暂时不买，可能买这家开发商的房子，也可能买另一家开发商的房子，但与各开发商的广告投入有一定的关联。一般地，随着广告费用的增加，潜在的购买量会增加，但市场的购买力是有一定限度的。表9.
1给出了某开发商以往9次广告投入及**的潜在购买力。
表9.1 广告投入与潜在购买力统计（单位：百万元）
下面从数学角度，通过合理的假设为开发商制定合理的广告策略，并给出单位面积成本700元，售价为4000元条件下的广告方案。
模型假设。1）假设单位面积成本为元，售价为元，忽略其他费用，需求量是随机变量，其概率密度为。
2）假设广告投入为百万元，潜在购买力是的函数记作，实际**量为。
模型建立。开发商制定策略的好坏主要由利润来确定，好的策略应该获得好的利润（平均意义下），为此，必须计算平均销售量。
上面右边第二项表示当需求量大于等于**量时，取需求量等于**量。
因此，利润函数为。利用得到。
上式中，第一项表示已售房毛利润，第二项为广告成本，第三项为未售出房的损失。
模型求解。为了获得最大利润，只需对（9.1）式求导并令其为零，设获得最大值时的最优值为，则。
因此，满足关系式。
通过（9.2）式知道，在广告投入一定的情况下，可以求出最优的**量，但依赖于需求量的概率分布。为使问题更加明确，增加如下假设：
3） 假设需求量服从分布，即。
将（9.3）代人（9.2）得到。
即最优的**量等于毛利率与由广告费确定的潜在购买力的乘积。将（9.4）式代入（9.1）式，得到最大利润为。
对（9.5）式关于求导，得驻点满足的方程为。
因此，只要知道了潜在购买力函数，就可以给出最优的广告投入。
下面根据开发商获得的相关数据，来确定潜在购买力函数。通过对表9.1数据分析，得知其符合型曲线增长率，经拟合得到。
记。将（9.7）式代入（9.6）式，当时，求得。
将代入（9.8）式得到(百万元)。
定岗定编问题。
社会系统中，常常因为职务、地位等的不同，划分出许多的等级，各等级的人数比例称之为等级结构，定岗定编问题即是保持一个稳定合理的等级机构，这类问题在许多单位都可以看到它的缩影。那么等级结构是怎样随时间变化的呢？
等级结构的变化依赖系统内部的等级随时间的转移（即通常所说的职务升降，以及系统内外部的交流（即通常所说的调入、调出、退休、死亡等）。通过数学语言将等级结构随时间变化关系恰当地表示出来，就构成这个问题的数学模型。
模型假设。1）将一个系统由低向高分成个等级，每隔年进行一次正常的等级调整。
2 ）表示第次调整时第个等级的人数，记，不妨称之为等级结构。为系统第年的总人数。
3） 记，，称为等级结构向量。
4） 记表示每次从等级升到等级的人数占等级中。
人数的比例；，表示每次从等级中退出人数的比例；，表示每次调入等级的人数占总调入人数的比例。记为第次调入总人数，且。
一般地，分别称为内部转移矩阵、退出向量、调入向量。为简便起见，不妨假设其与时间无关。
模型建立。根据假设，可以得到，且。
第次的系统总人数满足方程。
每个等级人数的转移方程为。
从到年总人数的增长量记为，则。
将（9.12）代入（9.11）得到。
记，则也是随机矩阵，（9.13）可以表示为。
通常称（9.14）为等级分布基本方程。
假如系统的总人数每年以固定的比例增长，即，则。
特别地，如果每年进出系统的人数大致相等，即系统总人数保持不变。那么，，方程（9.15）可以简化为。
具有形如（9.16）的方程称为马氏链。
对于由（9.14）给出的等级分布基本方程，下面考虑如下问题：给定初始等级结构，如何确定调入比例，使等级变化尽快达到或接近给定的理想等级结构。
需要指出的是，如果等级结构满足，则称等级结构为稳定的。
系统是否有稳定的等级结构是有条件的，如果存在，则必须满足（9.9），且。
保证（9.17）成立的充分必要条件是存在非负向量（每个分量非负），使。
如果矩阵可逆，由（9.17）得到。
令 ，由于的各分量之和为1，即。利用（9.19）式得。
再将（9.20）式代入（9.19）式得到。
关于两个等级接近程度的分析。
在处理实际问题时，通常会比较两个等级的接近程度，以便确定当前等级的状态。为此，我们引入等级距离的概念。定义两个等级之间的距离如下：
其中为加权因子，由对各等级的关注程度确定。一个满意的等级分布应该满足如下优化问题：
由于。如果记
则与呈正比，（9.23）等价于。
对于上面的优化问题，在某种程度上，它只是条件极值问题，可以用拉格朗日乘子法求解。
分类问题。人以类聚，物以群分。人们认为某一批样品属于同一类，是因为它们之间有相同或相似之处，从指标上来说就是大小比较接近。
由于指标往往不只一个，接近程度的衡量标准不一样，结果会有差异。本节借助一个实际问题介绍两类常用的分类方法。
若已知两类蠓共32个标本，已由生物专家根据触角长度及重量的数据分成类和类，具体数据见表9.4，根据这32个样本的特征对未知的8个样本进行分类。
表9.4()类蠓的触角与重量数据。
表 9.4()类蠓的触角与重量数据。
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