学校姓名班级考号。
1．每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，△abc的顶点均在格点上，1）写出a、b、c的坐标．
2）以原点o为中心，将△abc围绕原点o逆时针旋转180°得到△a1b1c1，画出△a1b1c1．
3）求（2）中c到c1经过的路径以及ob扫过的面积．
答案】（1）a（1，-4），b（5，-4），c（4，-1）；（2）略；（3）
解析】试题分析：（1）根据平面直角坐标系写出a、b、c的坐标即可；
2）利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案；
3）分别求出oc、ob的长，即可求出结果。
试题解析：（1）a（1，-4），b（5，-4），c（4，-1）
2）如图所示，3）oc=；ob=
c到c1经过的路径l===
ob扫过的面积。
2．已知∠aob＝90°，在∠aob的平分线om上有一点c，将一个三角板的直角顶点与c重合，它的两条直角边分别与oa，ob(或它们的反向延长线)相交于点d，e.
当三角板绕点c旋转到cd与oa垂直时(如图①)，易证：od＋oe＝oc；
当三角板绕点c旋转到cd与oa不垂直时，即在图②，图③这两种情况下，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段od，oe，oc之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．
答案】图②中od＋oe＝oc成立．证明见解析；图③不成立，有数量关系：oe－od＝oc
解析】试题分析：当三角板绕点c旋转到cd与oa不垂直时，易得△ckd≌△che，进而可得出证明；判断出结果．解此题的关键是根据题意找到全等三角形或等价关系，进而得出oc与od、oe的关系；最后转化得到结论．
试题解析：图②中od＋oe＝oc成立．
证明：过点c分别作oa，ob的垂线，垂足分别为p，q.
有△cpd≌△cqe，dp＝eq，op＝od＋dp，oq＝oe－eq，又∵op＋oq＝oc，即od＋dp＋oe－eq＝oc，od＋oe＝oc.
图③不成立，有数量关系：oe－od＝oc
过点c分别作ck⊥oa，ch⊥ob，oc为∠aob的角平分线，且ck⊥oa，ch⊥ob，ck=ch，∠ckd=∠che=90°，又∵∠kcd与∠hce都为旋转角，∠kcd=∠hce，△ckd≌△che，dk=eh，oe-od=oh+eh-od=oh+dk-od=oh+ok，由（1）知：oh+ok=oc，od，oe，oc满足oe-od=oc．
点睛：本题考查旋转的性质：旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变，两组对应点连线的交点是旋转中心．
3．在rt△abc中，∠a=90°，ac=ab=4，d，e分别是边ab，ac的中点，若等腰rt△ade绕点a逆时针旋转，得到等腰rt△ad1e1，设旋转角为α（0＜α≤180°），记直线bd1与ce1的交点为p．
1）如图1，当α=90°时，线段bd1的长等于 ，线段ce1的长等于 ；（直接填写结果）
2）如图2，当α=135°时，求证：bd1=ce1，且bd1⊥ce1.
答案】（1）2； 2；（2）证明见解析。
解析】试题分析：（1）利用等腰直角三角形的性质结合勾股定理分别得出bd1的长和ce1的长；
2）根据旋转的性质得出，∠d1ab=∠e1ac=135°，进而求出△d1ab≌△e1ac（sas），即可得出答案。
试题解析：（1）∵∠a=90°，ac=ab=4，d，e分别是边ab，ac的中点，ae=ad=2，等腰rt△ade绕点a逆时针旋转，得到等腰rt△ad1e1，设旋转角为α（0＜α≤180°），当α=90°时，ae1=2，∠e1ae=90°，bd1=，e1c=；
2）证明：当α=135°时，如图2，rt△ad1e是由rt△ade绕点a逆时针旋转135°得到，ad1=ae1，∠d1ab=∠e1ac=135°，在△d1ab和△e1ac中，△d1ab≌△e1ac（sas），bd1=ce1，且∠d1ba=∠e1ca，记直线bd1与ac交于点f，∠bfa=∠cfp，∠cpf=∠fab=90°，bd1⊥ce1.
4．如图1，若△abc和△ade为等边三角形，m，n分别是be，cd的中点，1）求证：△amn是等边三角形．
2）当把△ade绕a点旋转到图2的位置时，cd=be是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由．
答案】(1)证明见解析；（2）cd=be.理由见解析。
解析】试题分析：（1）由等边三角形的性质得到ab=ac，ae=ad， ∠bac=∠ead=60°，从而得到be=cd， 再由中点的定义得到en=dn， 即有an=am， 从而可以得到结论；
2）可以利用sas判定△abe≌△acd，全等三角形的对应边相等，所以cd=be．
试题解析：解：（1）∵△abc和△ade是等边三角形，∴ab=ac，ae=ad， ∠bac=∠ead=60°，
ab-ae=ac-ad，即be=cd， ∴m，n分别是be，cd的中点，∴em=be，dn=cd， ∴en=dn， ∴em+ae=dn+ad，即an=am， ∵bac=60°， amn是等边三角形；
2）cd=be．理由如下：
△abc和△ade为等边三角形，∴ab=ac，ae=ad，∠bac=∠ead=60°．
∠bae=∠bac∠eac=60°∠eac，∠dac=∠dae∠eac=60°∠eac，∠bae=∠dac，∴△abe≌△acd，∴cd=be．
5．在平面直角坐标系中，点的坐标，点的坐标，点的坐标，点的坐标，如图①，另有一点从点出发，沿着运动，到点停止．
）当在上时。
）点在运动过程中，直接写出可以和形成等腰三角形的点的坐标．
）将图①中的长方形在坐标平面内绕原点按逆时针方向旋转，如图②，求出此时点、、的坐标？
答案】(1)10；（2）（2,4），（3,4），（2.5,4），（8,4），（9,3）；（3），，
解析】【试题分析】
如图，e( 2，4 )，f（3,4）g(2.5，4),h(8，4)，i(9，3)
3）图形见解析，点纵坐标为bk=，横坐标为，∴，点横坐标为，纵坐标为，∴，若交轴于点，则，∴，cn==
点纵坐标为，点横坐标为，点坐标为．
试题解析】）当在上，．
）在的运动过程中，可以和形成等腰三角形的点的坐标分别为如图，e( 2，4 )，f（3,4）g(2.5，4),h(8，4)，i(9，3)
）点纵坐标为bk=，横坐标为，点横坐标为，纵坐标为，若交轴于点，则，∴，cn==
点纵坐标为，点横坐标为，点坐标为．
方法点睛】本题目是一道几何综合题目，比如，已知ab，求作点c.如果是等腰三角形，则三种情况分类讨论：（1）ab=ac，即以a为圆心，ab为半径画圆；（2）ab=bc，即以b为圆心，以ab为半径画圆；（3）ab的中垂线上。
简称“两圆一线”.
6．已知△abc中，，，cde中，，cd=de=5,连接接be，取be中点f,连接af、df.
1）如图1，若三点共线，为中点。
①直接指出与的关系。
②直接指出的长度。
2）将图（1）中的△cde绕点逆时针旋转（如图2，），试确定与的关系，并说明理由；
3）在（2）中，若，请直接指出点所经历的路径长。
图1图2答案】(12) ，理由见解析，（3）或。
解析】试题分析：（1）①如图，过点f m⊥cd于m，fn⊥ac交ca的延长线于点n，根据已知条件易证四边形fmcn为正方形，可得fn=fm，再证△fna≌△fmd，即可得∠nfa=∠dfm，df=af，所以∠nfa+∠afm=∠dfm+∠afm=∠dfa=90°，即可证得；②根据勾股定理求得bc=，ec=5 ，因为中点，f为be的中点，可得ch=bh=,eb=5-=，ef=bf= ，所以fh=bf+bh=;
2），，延长至使，连接，延长交于，，，再证得，由，cd=de，根据sas判定，，，根据等腰直角三角形的性质可得， ；3）如图，当旋转或时，，ad=7,点经历的路径长为或。试题解析：
2）结论：，理由如下：
延长至使，连接，延长交于，
3）旋转或时，，ad=7,点经历的路径长为或。
7．如图，在中，，点、分别在、上，，连接，将线段绕点按顺时针方向旋转后得，连接．
）求证：≌．
）若，求的度数．
答案】（）答案见解析．（）
解析】试题分析：（1）由旋转的性质可得：cd=ce，再根据同角的余角相等可证明∠bcd=∠fce，再根据全等三角形的判定方法即可证明△bcd≌△fce；
2）由（1）可知：△bcd≌△fce，所以∠bdc=∠e，易求∠e=90°，进而可求出∠bdc的度数．
试题解析：解：（1）∵将线段cd绕点c按顺时针方向旋转90°后得ce，∴cd=ce，∠dce=90°，∵acb=90°，∴bcd=90°﹣∠acd=∠fce，在△bcd和△fce中，∵cb=cf，∠bcd=∠fce，cd=ce，∴△bcd≌△fce（sas）．
2）由（1）可知△bcd≌△fce，∴∠bdc=∠e，∠bcd=∠fce，∴∠dce=∠dca+∠fce=∠dca+∠bcd=∠acb=90°，∵ef∥cd，∴∠e=180°﹣∠dce=90°，∴bdc=90°．
点睛：本题考查了全等三角形的判定和性质、同角的余角相等、旋转的性质、平行线的性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
8．在平面直角坐标系中，点 a（﹣2，0），b（2，0），c（0，2），点 d，点e分别是 ac，bc的中点，将△cde绕点c逆时针旋转得到△cd′e′，及旋转角为α，连接 ad′，be′．
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