第四届中国东南地区数学奥林匹克。
第一天。2023年7月27日， 8：00－12：00， 浙江镇海）
一、 试求实数a的个数，使得对于每个a，关于x的三次方程都有满足的偶数根。
令，n为整数，且，即，所以至多取个数，即。将代入原方程得 。记，对任意的，当()时，若，设，其中是关于x的方程的两个根，设另一根为，由根与系数的关系。
即(其中)即，矛盾！
所以，对于不同的，都有，于是满足条件的实数a恰有999个。
另解】对任意，x为偶数，的取值都各不相同。
反证，若存在，使得，其中为偶数，则。
由于，则，又因为为偶数，所以，矛盾。因此满足条件的a共有999个。
二、 如图，设c、d是以o为圆心、ab为直径的半圆上的任意两点，过点b作的切线交直线cd交于p，直线po与直线ca、ad分别交于点e、f。证明：oe=of。
一、 如图，作于m，作mn//ad，设，连bc、bm，则，因此n、b、m、c共圆；又由o、b、p、m共圆，得。
所以cn//op，于是。
因m为cd的中点，mn//dk，则n为ck的中点；故由(1)得，。
另证】如图，过o作于，连结bc、bm、bd、be，因为，，所以o、b、p、m四点共圆，于是，，所以，，从而，，所以ad//be，，即oe=of。
三、 设，试求的值，其中表示不超过x的最大整数。
二、 设()，则，即数列严格单增。
由于，(当k=m时取得等号)，故；
又当k=m、m+1时，，而在或时，，即，亦即，所以；再由数列的单调性，当时，，所以
因此，，于是。
四、 求最小的正整数n，使得对于满足条件的任一具有n项的正整数数列，其中必有连续的若干项之和等于30。
三、 首先，我们可以构造一个具有1017项的整数数列，使其中不存在和为30的连续项；为此，取，以及，即为：
共有34段，前33段中每段各有30个项，最后一段有27个项，共计1017个项)，其次，当项数少于1017时，只须将某些段中连续的若干个数合并成较大的数即可。
对于满足条件的任一个具有1018项的正整数数列，我们来证明，其中必有连续的若干项之和等于30。为此，记，则。今考虑集中元素的分组：
其中有33×30=990个括号以及27个未加括号的数，从中任取1018个数作为的取值，必有两数取自同一括号，设为，则，即该数列中。因此n的最小值为1018。
第二天。2023年7月28日， 8：00－12：00， 浙江镇海）
五、 设函数满足： (且当时有，证明：当时，有。
令，则，所以是r上以1为周期的周期函数；又由条件当时有，可得，当时，，所以周期函数在r上有，据此知，在r上，六、 如图，直角三角形abc中，d是斜边ab的中点，，md交ac于n；mc的延长线交ab于e。证明：。
如图，延长me交的外接圆于f，延长md交af于k，作cg//mk，交af于g，交ab于p，作于h，则h为cf的中点。连hb、hp，则d、h、b、m共圆，故，于是h、b、c、p共圆，所以，故ph//af。即ph为的中位线，p是cg的中点。
则ap为的边cg上的中线，又因nk//cg，故d是nk的中点，即线段ab与nk互相平分，所以，而，即有。
七、 试求满足下列条件的三元阵列(a, b, c)：
i) a(ii) a+1、b+1、c+1组成等比数列。
据条件， 设，其中x、y不含大于1的平方因子，则必有x=y，这是由于，据(1)，则，设，于是(2)化为，若，则有质数，即，因x、y皆不含大于1的平方因子，因此，。设，则(3)化为。
若仍有，则又有质数，即，因皆不含大于1的平方因子，则，，设，则(4)化为，……如此下去，因(3)式中w的质因数个数有限，故有r，使，而从得，，从而，改记x=y=k，则有，
其中。k无大于的平方因子，并且，否则若k=1，则，因c大于第三个质数5，即，，得为合数，矛盾。因此k或为质数，或为若干个互异质数之乘积，(即k大于1，且无大于1的平方因子)。
我们将其简称为“k具有性质p”。
i) 据(6)，。
当m=2，则n=1，有，因c<100，得k<25；
若，则且c>3，得c为合数；
若：在k为偶数时，具有性质p的k有，分别给出不为质数；
k为奇数时，具有性质p的k值有，分别给出的皆不为质数；
若，具有性质p的k值有：
当k=3时，给出解；
当k=6时，给出解；
当k时，分别给出的皆不为质数；
若m=3，则n=2或1。
在m=3、n=2时，，因质数，得，具有性质p的k值有：
在k为奇数时，给出皆为合数；
在k=6时，给出为合数；
在k=10时，给出为合数；
在k=2时，给出解；
在m=3、n=1时，，，具有性质p的k值有：
在k为奇数时，给出的皆为合数；
在k=2和10时，给出的不为质数；
在k=6时，给出解；
ii) m=4时，由得，具有性质p的k值有。
在k=6时，为合数；
在k=5时，，因，则n可取，分别得到a、b至少一个不为质数；
在k=3时，，，因：
在n=3时给出的a、b为合数；
在n=2时给出解；
在n=1时给出解；
在k=2时，，，只有在n=3时给出解；
iii) m=5时，，具有性质p的k值有，分别给出为合数；
iv) m=6时，，具有性质p的k值只有2，因此可以得到，这时，，只有在n=2时给出解；在n=4时给出解；
v) m=7时，，具有性质p的k值只有2得，而，，只有在n=3时给出解；在n=6时给出解；
vi) 时，，具有性质p的k值不存在。
因此，满足条件的解共有11组，即为上述的。
八、 设正实数a、b、c满足：abc=1，求证：对于整数，有。
因为，所以。
同理可得，。
三式相加可得。
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