一、追赶相逢类型。
1-1、科学家在地球轨道外侧发现了一颗绕太阳运行的小行星，经过观测该小行星每隔t时间与地球相遇一次，已知地球绕太阳公转半径是r，周期是t，设地球和小行星都是圆轨道，求小行星与地球的最近距离。
解：设小行星绕太阳周期为t/，t/>t,地球和小行星没隔时间t相遇一次，则有。
设小行星绕太阳轨道半径为r/,万有引力提供向心力有。
同理对于地球绕太阳运动也有
由上面两式有。
所以当地球和小行星最近时
1-2、火星和地球绕太阳的运动可以近似看作为同一平面内同方向的匀速圆周运动，已知火星的轨道半径，地球的轨道半径，从如图所示的火星与地球相距最近的时刻开始计时，估算火星再次与地球相距最近需多少地球年？（保留两位有效数字）
解：设行星质量m，太阳质量为m，行星与太阳的距离为r，根据万有引力定律，行星受太阳的万有引力（2分）
行星绕太阳做近似匀速圆周运动，根据牛顿第二定律有（2分）
1分） 以上式子联立故（1分）
地球的周期年，（1分） 火星的周期（2分）
年=1.8年 （1分）
设经时间t两星又一次距离最近，根据（2分）
则两星转过的角度之差（2分）
（2分，答“2.2年”同样给分）
二、宇宙飞船类型（神舟五号类型）
2-1、随着我国“神舟五号”宇宙飞船的发射和**成功。标志着我国的航天技术已达到世界先进水平。如图所示，质量为m的飞船绕地球在圆轨道ⅰ上运行时，半径为r1，要进入半径为r2的更高的圆轨道ⅱ，必须先加速进入一个椭圆轨道ⅲ，然后再进入圆轨道ⅱ。
已知飞船在圆轨道ⅱ上运动速度大小为υ，在a点通过发动机向后以速度大小为u（对地）喷出一定质量气体，使飞船速度增加到v′进入椭圆轨道ⅲ。（已知量为：m、r1、r2、υ、v′u）求：
⑴飞船在轨道i上的速度和加速度大小。
发动机喷出气体的质量△m。
解：（1）在轨道i上，有 (2分) 解得： (1分)
同理在轨道ii上 (1分) 由此得： (1分)
在轨道i上向心加速度为a1,则有 (2分)
同理在轨道ii上向心加速度a=,则有 (2分)
由此得 (1分)
(2)设喷出气体的质量为，由动量守恒得。
(3分) 得： (2分)
年10月15日9时整，我国“神舟”五号载人飞船发射成功，飞船绕地球14圈后，于10月16日6时23分安全返回。若把“神舟”五号载人飞船的绕地运行看作是在同一轨道上的匀速圆周运动，已知地球半径为r，地球表面重力加速度为g。
设“神舟”五号载人飞船绕地球运行的周期为t、地球表面的重力加速度为g、地球半径为r，用t、g、r能求出哪些与“神舟”五号载人飞船有关的物理量？分别写出计算这些物理量的表达式（不必代入数据计算）。
解： 对飞船，万有引力作为圆周运动的向心力 ②（2分）
在地球表面2分）
可得“神舟”五号轨道半径（或轨道周长 ④
此外还可求得“神舟”五号载人飞船的运行频率 ⑤
“神舟”五号载人飞船的运行角速度 ⑥
“神舟”五号载人飞船的运行线速度 ⑦
“神舟”五号载人飞船的运行向心加速度（加速度、轨道处重力加速度） ⑧
“神舟”五号载人飞船的离地面高度 ⑨
年10月15日，我国神舟五号载人飞船成功发射。标志着我国的航天事业发展到了很高的水平。飞船在绕地球飞行的第5圈进行变轨，由原来的椭圆轨道变为距地面高度为h的圆形轨道。
已知地球半径为r，地面处的重力加速度为g.求：
（1）飞船在上述圆轨道上运行的速度v；
（2）飞船在上述圆轨道上运行的周期t.
解：（1）设地球质量为m，飞船质量为m，圆轨道的半径为。
由万有引力定律和牛顿第二定律 （3分）
在地面附近有 （3分） 由已知条件 （2分）
求出（2分）
2）由（3分） 求出 （3分）
2-4、国执行首次载人航天飞行的神州五号飞船于2023年10月15日在中国酒泉卫星发射中心发射升空．飞船由长征-2f运载火箭先送入近地点为a、远地点为b的椭圆轨道，在b点实施变轨后，再进入预定圆轨道，如图所示．已知飞船在预定圆轨道上飞行n圈所用时间为t，近地点a距地面高度为h1，地球表面重力加速度为g，地球半径为r，求：
（1）飞船在近地点a的加速度aa为多大？
（2）远地点b距地面的高度h2为多少？
解答：（1）设地球质量为m，飞船的质量为m，在a点受到的地球引力为。
2分。地球表面的重力加速度 2分。
由牛顿第二定律得 4分。
（2）飞船在预定圆轨道飞行的周期 2分。
由牛顿运动定律得 2分。
解得 4分。
三、同步卫星。
3-1、射地球同步卫星时，可认为先将卫星发射至距地面高度为h1的圆形近地轨道上，在卫星经过a点时点火（喷气发动机工作）实施变轨进入椭圆轨道，椭圆轨道的近地点为a，远地点为b。在卫星沿椭圆轨道（远地点b在同步轨道上），如图14所示。两次点火过程都使卫星沿切向方向加速，并且点火时间很短。
已知同步卫星的运动周期为t，地球的半径为r，地球表面重力加速度为g，求：
（1）卫星在近地圆形轨道运行接近a点时的加速度大小；
（2）卫星同步轨道距地面的高度。
解：（1）设地球质量为m，卫星质量为m，万有引力常量为g、卫星在近地圆轨道运动接近a点时的加速度为，根据牛顿第二定律4分。
物体在地球表面上受到的万有引力等于重力4分。
解得2分。2）设同步轨道距地面高度h2，根据牛顿第二定律有6分。
由上式解得： 2分。
3-2、右图为某报纸的一篇科技报道，你能发现其中的科学性问题吗？请通过必要的计算加以说明。下面的数据在你需要时可选用。
引力常量g＝6.7×10－11n·m2/kg2；地球表面重力加速度g＝10m/s2；地球半径r＝6.4×106m；地球自转周期t＝8.
6×104s；地球公转周期t＇＝3.2×107s。（π2＝10；70～80的立方根约取4.
2）解：本报道中，地球同步卫星高度735公里的数据出错，以下的计算可以说明。
在地球同步轨道上，卫星受地球的万有引力提供卫星绕地球运转所需的向心力。设卫星的质量为m，离地面高度为h，有：
在地球表面上，质量为m0的物体，受地球的万有引力等于物体的重力，有：
得由（1）（2）式可得。
代入数据得（能说明差2个数量级即可）
四、科技前沿信息型。
年8月26日在日本举行的国际学术大会上，德国max plank学会的一个研究组宣布了他们的研究结果：银河系的中心可能存在一个大“黑洞”，“黑洞”是某些天体的最后演变结果。
（1）根据长期观测发现，距离某“黑洞”6.0×1012m的另一个星体（设其质量为m2）以2×106m/s的速度绕“黑洞”旋转，求该“黑洞”的质量m1。（结果要求两位有效数字）
（2）根据天体物理学知识，物体从某天体上的逃逸速度公式为，其中引力常量g=6.67×10－11n·m2·kg－2，m为天体质量，r为天体半径，且已知逃逸的速度大于真空中光速的天体叫“黑洞”。请估算（1）中“黑洞”的可能最大半径。
（结果只要求一位有效数字）
解：（1） (3分) ∴4分)
2）∵ 3分4分)
4-2、设想宇航员完成了对火星表面的科学考察任务，乘坐返回舱返回围绕火星做圆周运动的轨道舱，如图所示。为了安全，返回舱与轨道舱对接时，必须具有相同的速度。已知返回舱返回过程中需克服火星的引力做功，返回舱与人的总质量为m，火星表面的重力加速度为g ，火星的半径为r，轨道舱到火星中心的距离为r，不计火星表面大气对返回舱的阻力和火星自转的影响，则该宇航员乘坐的返回舱至少需要获得多少能量才能返回轨道舱？
解：返回舱与人在火星表面附近有： （2分）
设轨道舱的质量为m0，速度大小为v，则： （2分）
解得宇航员乘坐返回舱与轨道舱对接时，具有的动能为 （2分）
因为返回舱返回过程克服引力做功。
所以返回舱返回时至少需要能量 （4分）
年，我国现代版的“嫦娥奔月”正式开演，力争2023年12月正式发射。**曾报道从卫星**和美、苏（原苏联）两国勘测结果证明，在月球的永暗面存在着大量常年以固态形式蕴藏的水冰。
但根据天文观测，月球半径为r=1738km，月球表面的重力加速度约为地球表面的重力加速度的1/6，月球表面在阳光照射下的温度可达127℃，此时水蒸气分子的平均速度达到v0=2000m/s。试分析月球表面没有水的原因。（取地球表面的重力加速度g=9.
8m/s2）（要求至少两种方法）
解法1：假定月球表面有水，则这些水在127℃时达到的平均速度v0=2000m/s必须小于月球表面的第一宇宙速度，否则这些水将不会降落回月球表面，导致月球表面无水。取质量为m的某水分子，因为gmm/r2=mv12/r2，mg月=gmm/r2，g月=g/6，所以代入数据解得v1=1700m/s，v1＜v0，即这些水分子会象卫星一样绕月球转动而不落到月球表面，使月球表面无水。
解法2：设v0=2000m/s为月球的第一宇宙速度，计算水分子绕月球的运行半径r1，如果r1＞r，则月球表面无水。取质量为m的某水分子，因为gmm/r12=mv02/r12，mg月=gmm/r12，g月=g/6，所以r1=v02/g月=2.
449×106m，r1＞r，即以2000m/s的速度运行的水分子不在月球表面，也即月球表面无水。
解法3：假定月球表面有水，则这些水所受到的月球的引力必须足以提供水蒸气分子在月球表面所受到的向心力，即应满足：mg月＞gmm/r2，当v=v0=2000m/s时，g月＞v02/r=2.
30m/s2，而现在月球表面的重力加速度仅为g/6=1.63m/s2，所以水分子在月球表面所受的重力不足以提供2000m/s所对应的向心力，也即月球表面无水。
解法4：假定有水，则这些水所受到的月球的引力必须足以提供水蒸气分子在月球表面所受到的向心力，即应满足：mg月＞gmm/r2，，即应有g月r＞v2而实际上：
g月r=2.84×106m2/s2，v02=4×106m2/s2，所以v02＞g月r即以2000m/s的速度运行的水分子不能存在于月球表面，也即月球表面无水。
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