第四章曲线运动万有引力与航天。
第3讲圆周运动的规律及其应用。
a 对点训练——练熟基础知识。
匀速圆周运动的运动学问题。
1．2023年6月20日上午10时，中国载人航天史上的首堂太空授课开讲．航天员做了一个有趣实验：t形支架上，用细绳拴着一颗明黄色的小钢球．航天员王亚平用手指沿切线方向轻推小球，可以看到小球在拉力作用下在某一平面内做圆周运动．从电视画面上可估算出细绳长度大约为32 cm，小球2 s转动一圈．由此可知王亚平使小球沿垂直细绳方向获得的速度为( )
a．0.1 m/s b．0.5 m/s
c．1 m/s d．2 m/s
解析在太空完全失重的环境下，小球在细绳的拉力作用下在某一平面内做匀速圆周运动．小球做匀速圆周运动的周长为s＝2πr＝2π×0.32 m＝2 m，由s＝vt可得小球做匀速圆周运动的速度为v＝s/t＝1 m/s，选项c正确．
答案 c2．在“天宫一号”的太空授课中，航天员王亚平做了一个有趣实验．在t形支架上，用细绳拴着一颗明黄色的小钢球．设小球质量为m，细绳长度为l.王亚平用手指沿切线方向轻推小球，小球在拉力作用下做匀速圆周运动．测得小球运动的周期为t，由此可知( )
a．小球运动的角速度ω＝t/(2π)
b．小球运动的线速度v＝2πl/t
c．小球运动的加速度a＝2π2l/t2
d．细绳中的拉力为f＝4mπ2l/t2
解析小球运动的角速度ω＝2π/t，选项a错误；线速度v＝ωl＝2πl/t，选项b正确；加速度a＝ω2l＝4π2l/t2，选项c错误；细绳中的拉力为f＝ma＝4mπ2l/t2，选项d正确．
答案 bd匀速圆周运动的动力学问题。
3．如图4－3－9所示，是某课外研究小组设计的可以用来测量转盘转速的装置．该装置上方是一与转盘固定在一起有横向均匀刻度的标尺，带孔的小球穿在光滑细杆与一轻弹簧相连，弹簧的另一端固定在转动轴上，小球可沿杆自由滑动并随转盘在水平面内转动．当转盘不转动时，指针指在o处，当转盘转动的角速度为ω1时，指针指在a处，当转盘转动的角速度为ω2时，指针指在b处，设弹簧均没有超过弹性限度．则ω1与ω2的比值为( )
图4－3－9
a. b． c. d．
解析小球随转盘转动时由弹簧的弹力提供向心力．设标尺的最小分度的长度为x，弹簧的劲度系数为k，则有kx＝m·4x·ω12，k·3x＝m·6x·ω22，故有ω1∶ω2＝1∶，b正确．
答案 b4．如图4－3－10所示，倾角为30°的斜面连接水平面，在水平面上安装半径为r的半圆竖直挡板，质量为m的小球从斜面上高为处静止释放，到达水平面时恰能贴着挡板内侧运动．不计小球体积，不计摩擦和机械能损失．则小球沿挡板运动时对挡板的压力是( )
图4－3－10
a．0.5mg b．mg
c．1.5mg d．2mg
解析设小球运动至斜面最低点(即进入水平面上的半圆形挡板)时的速度为v，由机械能守恒定律得mg＝mv2，解得v＝；依题意可知，小球贴着挡板内侧做匀速圆周运动，所需要的向心力由挡板对它的弹力提供，设该弹力为n，则n＝m，将v＝代入解得n＝mg；由牛顿第三定律可知，小球沿挡板运动时对挡板的压力大小等于n，即mg，故选项b正确．
答案 b5．(2014·绵阳模拟)如图4－3－11所示，质量为m的物块，沿着半径为r的半球形金属壳内壁滑下，半球形金属壳竖直固定放置，开口向上，滑到最低点时速度大小为v.若物体与球壳之间的动摩擦因数为μ，则物体在最低点时，下列说法正确的是( )
图4－3－11
a．受到的向心力为mg＋m
b．受到的摩擦力为μm
c．受到的摩擦力为μ
d．受到的合力方向斜向左上方。
解析物体在最低点受竖直方向的合力fy，方向向上，提供向心力，fy＝m，a错误；而fy＝n－mg，得n＝mg＋m，物体受滑动摩擦力f＝μn＝μ，b错误、c正确；f水平向左，故物体受到的f与fy的合力，斜向左上方，d正确．
答案 cd离心现象。
6．世界一级方程式锦标赛新加坡大奖赛赛道单圈长5.067公里，共有23个弯道，如图4－3－12所示，赛车在水平路面上转弯时，常常在弯道上冲出跑道，则以下说法正确的是( )
图4－3－12
a．是由于赛车行驶到弯道时，运动员未能及时转动方向盘才造成赛车冲出跑道的。
b．是由于赛车行驶到弯道时，运动员没有及时加速才造成赛车冲出跑道的。
c．是由于赛车行驶到弯道时，运动员没有及时减速才造成赛车冲出跑道的。
d．由公式f＝mω2r可知，弯道半径越大，越容易冲出跑道。
解析赛车在水平面上转弯时，它需要的向心力是由赛车与地面间的摩擦力提供的．由f＝m知，当v较大时，赛车需要的向心力也较大，当摩擦力不足以提供其所需的向心力时，赛车将冲出跑道．
答案 c7．(2013·新课标全国卷ⅱ，21)公路急转弯处通常是交通事故多发地带．如图4－3－13，某公路急转弯处是一圆弧，当汽车行驶的速率为vc时，汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势，则在该弯道处( )
图4－3－13
a．路面外侧高内侧低。
b．车速只要低于vc，车辆便会向内侧滑动。
c．车速虽然高于vc，但只要不超出某一最高限度，车辆便不会向外侧滑动。
d．当路面结冰时，与未结冰时相比，vc的值变小。
解析汽车转弯时，恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势，说明公路外侧高一些，支持力的水平分力刚好提供向心力，此时汽车不受静摩擦力的作用，与路面是否结冰无关，故选项a正确；选项d错误．当vvc时，支持力的水平分力小于所需向心力，汽车有向外侧滑动的趋势，在摩擦力大于最大静摩擦力前不会侧滑，故选项b错误，选项c正确．
答案 ac圆周运动的临界问题。
8．(2013·上海卷，6)秋千的吊绳有些磨损．在摆动过程中，吊绳最容易断裂的时候是秋千( )
a．在下摆过程中 b．在上摆过程中。
c．摆到最高点时 d．摆到最低点时。
解析当秋千摆到最低点时吊绳中拉力最大，吊绳最容易断裂，选项d正确．
答案 d9．在光滑水平面上，有一转轴垂直于此平面，交点o的上方h处固定一细绳，绳的另一端连接一质量为m的小球b，绳长l>h，小球可随转轴转动在光滑水平面上做匀速圆周运动，如图4－3－14所示．要使小球不离开水平面，转轴转速的最大值是( )
图4－3－14
a. b．π
c. d．
解析当小球即将离开水平面时，fn＝0，对小球受力分析如图．
由牛顿第二定律得：
mgtan θ＝m(2πnm)2r①
r＝htan θ②
联立①②得。
nm＝选项a正确．
答案 a10.如图4－3－15所示，m为在水平传送带上被传送的小物体(可视为质点)，a为终端皮带轮，已知该皮带轮的半径为r，传送带与皮带轮间不会打滑，当m可被水平抛出时，a轮每秒的转数最少是( )
图4－3－15
a. b．c. d．
解析小物体不沿曲面下滑，而是被水平抛出，需满足关系式mg≤mv2/r，即传送带转动的速度v≥，其大小等于a轮边缘的线速度大小，a轮转动的周期为t＝≤2π，每秒的转数n＝≥，本题答案为a.
答案 a11．如图4－3－16所示，长为l的轻杆一端固定质量为m的小球，另一端固定转轴o，现使小球在竖直平面内做圆周运动．p为圆周轨道的最高点．若小球通过圆周轨道最低点时的速度大小为，则以下判断正确的是( )
图4－3－16
a．小球不能到达p点。
b．小球到达p点时的速度小于。
c．小球能到达p点，但在p点不会受到轻杆的弹力。
d．小球能到达p点，且在p点受到轻杆向上的弹力。
解析根据机械能守恒定律2mgl＝mv2－mvp2，可求出小球在p点的速度为<，故b正确，a错误．计算出向心力f＝mg，故小球在p点受到轻杆向上的弹力，故c错误、d正确．
答案 bdb 深化训练——提高能力技巧。
12．如图4－3－17所示，两个用相同材料制成的靠摩擦转动的轮a和b水平放置，两轮半径ra＝2rb.当主动轮a匀速转动时，在a轮边缘上放置的小木块恰能相对静止在a轮边缘上．若将小木块放在b轮上，欲使木块相对b轮也静止，则木块距b轮转动轴的最大距离为( )
图4－3－17
a. b．
c. d．rb
解析由题图可知，当主动轮a匀速转动时，a、b两轮边缘上的线速度相同，由ω＝，得＝＝＝由于小木块恰能在a轮边缘静止，则由静摩擦力提供的向心力达最大值μmg，故μmg＝mωa2ra①
设放在b轮上能使木块相对静止的距b轮转动轴的最大距离为r，则向心力由最大静摩擦力提供，故。
mg＝mωb2r②
因a、b材料相同，故木块与a、b间的动摩擦因数相同，①②式左边相等，故mωa2ra＝mωb2r，得r＝2ra＝2ra＝＝.所以选项c正确．
答案 c13．(2014·乐山模拟)用一根细线一端系一小球(可视为质点)，另一端固定在一光滑圆锥顶上，如图4－3－18所示，设小球在水平面内做匀速圆周运动的角速度为ω，细线的张力为t，则t随ω2变化的图像是下列选项中的( )
图4－3－18
解析小球未离开锥面时，设细线的张力为t ，线的长度为l，锥面对小球的支持力为n，则有：tcos θ＋nsin θ＝mg及tsin θ－ncos θ＝mω2lsin θ，可求得t＝mgcos θ＋mω2lsin2 θ
可见当ω由0开始增大，t从mgcos θ开始随ω2的增大而线性增大，当角速度增大到小球飘离锥面时，有tsin α＝mω2lsin α，其中α为细线与竖直方向的夹角，即t＝mω2l，可见t随ω2的增大仍线性增大，但图线斜率增大，综上所述，只有c正确．
答案 c图4－3－19
14．(2013·福建卷，20)如图4－3－19所示，一不可伸长的轻绳上端悬挂于o点，下端系一质量m＝1.0 kg 的小球．现将小球拉到a点(保持绳绷直)由静止释放，当它经过b点时绳恰好被拉断，小球平抛后落在水平地面上的c点．地面上的d点与ob在同一竖直线上，已知绳长l＝1.0 m，b点离地高度h＝1.
0 m，a、b两点的高度差h＝0.5 m，重力加速度g取10 m/s2，不计空气影响，求：(1)地面上dc两点间的距离s；
2)轻绳所受的最大拉力大小．
解析 (1)小球从a到b过程机械能守恒，有。
mgh＝mvb2①
小球从b到c做平抛运动，在竖直方向上有。
h＝gt2②
在水平方向上有，s＝vbt③
由①②③式解得s≈1.41 m
2)小球下摆到达b点时，绳的拉力和重力的合力提供向心力，有f－mg＝m⑤
必修2第4章第2讲
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